6. плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит - вопрос №16358176 от PowerSell 31.01.2021 12:19

Question

Геометрия: 6. плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит этот диаметр на две части, равные 3 и 9. найдите объём меньшей части.

PowerSell · Answer

Диаметр делится на 2 части, равные 3 и 9, поэтому диаметр равен 12, а радиус 6.
Объем шарового сегмента:
$V={1\over3}\pi h^2(3R-h)$
Из условия:
$h=3,\,R=6\\V={1\over3}\pi*9*(18-3)=45\pi$

Если мы не знаем (не помним) формулу объема шарового сегмента, то ее можно вывести:
Пусть радиус шара R, высота шарового сегмента h. Тогда объем шарового сегмента есть интеграл от площади сечения перпендикулярной к диаметру плоскости (которое является кругом) от R-h до R:
$V= \int\limits^{R}_{R-h} {\pi (R^2-x^2)} \, dx =\pi({R^2x-{x^3\over3}})\underset{R-h}{\overset{R}{|}}=\\={\pi\over3}(3R^2(R-R+h)-(R^3-(R-h)^3))=\\={\pi\over3}(3R^2h-R^3+R^3-3R^2h+3Rh^2-h^3)={\pi\over3}h^2(3R-h)$

Где $\pi(R^2-x^2)$ - площадь сечения, проходящего на расстоянии x от центра шара ( $x\in[-R;R]$ )