Дана трапеция ABCD с основаниями AB и CD такая, что AB+CD=AD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Прямая, параллельная основаниям трапеции и проходящая через точку О, пересекает сторону AD в точке К. Докажите, что угол BKC=90.

Доказательство в объяснении.

Объяснение:

Ясно, что минимальная длина отрезка MN будет при совпадении точек B и D и точек С и Е. В этом случае M'N' станет средней линией треугольника АВС и будет равна AB (AD)/2.

Оставим точку Е совпадающей с точкой С, а точку D отметим в любом месте на продолжении стороны АВ за точку В.

Тогда M'N - средняя линия треугольника АDC и равна AD/2.

Отметим точку Е  в любом месте на продолжении стороны ВС за точку С. Получим треугольник M'MN в котором  сторона MN > M'N, так как если провести окружность с центром в точке N радиусом NM', то касательная M'H к этой окружности будет пересекать прямую MN в точке Н.

MN = MH+HN  =>

MN >(M'N = AD/2)

=> MN >AD/2.

Что и требовалось доказать.

Задание： 3

Из условия AA1 = BB1 = CC1 = DD1 = 2AB = 2BC = 2CD = 2AD. Высота правильной призмы равна ее высоте AA1. AA1 = 8см, AB = AA1/2 = 4 см. Поскольку AF = AB и BC = CP = 4 см, то стороны треугольника BF и BP равны 8 см. Чтобы найти площадь основания пирамиды, нужно найти площадь прямоугольного треугольника FBP с прямым углом B. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через катеты, то есть S = (FB*BP)/2, S = (8*8)/2 = 64/2 = 32 см^2.

Объем пирамиды: V = (S(BFP)*BB1)/3, V = (32*8)/3 = 256/3 см^3