1. Плоскости аи В перпендикулярны, а — линия их пере- сечения. Точки A, B, C, D, N, Рим лежат в плоскости а,
причем только прямая ср 1а. Изобразите проекции на
плоскость в отрезков AB, CD и треугольника MNP.
Na
..
1)
BDM
P
B

1-й признак подобия треугольников

( подобие треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2-й признак подобия треугольников

( подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие  треугольники подобны.

3-й признак подобия треугольников

( подобие треугольников по трём сторонам)

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Есть еще 4-й признак подобия треугольников —

( подобие треугольников по двум сторонам и наибольшему углу)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а наибольший угол одного равен наибольшему углу другого, то такие треугольники подобны.

Доказав, что треугольники подобны, можно использовать свойства подобных треугольников.

Для доказательства подобия прямоугольных треугольников используют другие признаки. Их мы запишем в следующий раз.

Подобие правильных и подобие равнобедренных треугольников рассмотрим позже.

Признаки подобия треугольников широко используются при решении задач как в курсе планиметрии, так и в курсе стереометрии. Например, на основании подобия прямоугольных треугольников доказывается свойство биссектрисы треугольника.

Пусть О - точка пересечения медиан треугольника АВС. Треугольники AOP и BOM подобны по двум  углам (два угла равны по условию, еще два угла вертикальные). Тогда:

Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, то:

Если медианы, проведенные к двум сторонам треугольника равны, то и сами стороны также равны. Значит, АС=ВС и треугольник АВС равнобедренный.
Рассмотрим треугольник АМС. По теореме косинусов, учитывая соотношение АС=2СМ, получим:

Следовательно стороны в два раза больше:
Тогда площадь треугольника найдем как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними:

ответ: 2/3