В прямоугольном треугольнике ABC катеты AC и BC равны соответственно 1 и 3. Найдите геометрическое место точек M плоскости, для которых AM^2 + BM^2= 2CM^2

Смотри рисунок.
угол СВЕ=угол СDE=60⁰
CL-высота параллелограмма 
ΔСLD-прямоугольный, угол LCD=90°-60°=30° ⇒ LD=0.5*CD=0.5*10=5
CL²=CD²-LD²=10²-5²=100-25=75
CL=√75=5√3
угол между плоскостями измеряется линейным углом АКh=a (угол AKC=угол СКh=90°) из свойства параллелограмма: угол СКh=угол КhE ⇒ Kh-высота ⇒
Kh=СL=5√3
АК-высота ΔАВС, т.к. ΔАВС-равносторонний (сторона=8см),то
СК=0,5*СВ=0,5*8=4
АК²=АС²-СК²=8²-4²=64-16=48
АК=√48=4√3
АК=4√3, Kh=5√3, Ah=√33
для нахождения косинуса угла а воспользуемся теоремой косинусов:
с²=а²+в²-2ав*сosa
cosa=(a²+в²-с²)/2ав=(АК²+Кh²-Ah²) / 2*AK*Kh=(АК²+Кh²*-Ah²) / 2*AK*Kh=
( (4√3)²+(5√3)²-(√33)² ) / 2*4√3*5√3=(48+75-33) / 120=90/120=3/4
отв: cos a=3/4

Трапеция АВСД: ВС=14, диагонали АС=ВД=12√2
 Если диагонали трапеции равны, то она — равнобедренная (АВ=СД)
<АВД=<АСД=90°
Опустим высоту СН на основание АД (она же является и высотой прямоугольного ΔАСД, опущенной из прямого угла на гипотенузу). Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой — полуразности оснований: АН=(АД+ВС)/2 и НД=(АД-ВС)/2
Из ΔАСД: 
СН²=АН*НД=(АД+ВС)/2 *(АД-ВС)/2=(АД²-ВС²)/4=(АД²-196)/4
Из ΔАСН: 
СН²=(АС²-АН²)=(АС²-(АД+ВС)²/4)=(4АС²-(АД²+2АД*ВС+ВС²))/4=(4*288-АД²-28АД-196)/4=(956-АД²-28АД)/4
Приравниваем:
(АД²-196)/4=(956-АД²-28АД)/4
АД²+14АД-576=0
D=196+2304=2500=50²
АД=(-14+50)/2=18
ответ: 18