Радиус основания цилиндра равен 5 см, а высота цилиндра равна 8 см. Найдите площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 3 см от неё.

P - точка касания BC с окружностью.  
Ясно, что NP II AC;
из подобия РАВНОБЕДРЕННЫХ треугольников NPK и AKC NP/AC = KN/CK =1/5;
из подобия равнобедренных треугольников NPB и ABC BP/BC = NP/AC = 1/5;
то есть  BP = BN = 1; AN = AM = MC = CP = 4; 
AC = 8; AB = BC = 5;
BM делит ABC на два "египетских" треугольника (3,4,5), то есть BM = 3;
R = 5*5*8/(4*8*3/2) = 25/6;

Опять таки теорема Ван-Обеля CP/PB + CM/AM = CK/KN; тут же дает CP/PB = 4; то есть CP = 4; PB = 1; в этой задачке получить это "обычным" тоже не сложно, но это опять "обходной" путь.

Пусть биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке M (см. рисунок 1)
 <BAD = 30⁰, AB = 10см, BC = 20 см.
Тогда < BMA = < MAD = < MAB = 15⁰.Значит, треугольник ABM — равнобедренный и BM = AB = 10 см, поэтому MC = 20-10=10 см.

Проведем биссектрисы BQ и DP тупых углов параллелограмма. Треугольник PCD - равнобедренный :<CDP=<ADP=<CPD
PC=CD=10 см, ВР=20-10=10.
Точка М- середина стороны ВС ( см. рисунок 1), но и точка Р- середина стороны ВС( см. рисунок 2), значит точки М и Р совпадают ( см. рисунок 3), точки N и Q совпадают.
Четырехугольник LMTN - прямоугольник, так как из треугольника АLB найдём угол <ALB=180⁰-15⁰-75⁰=90⁰, а смежный с ним <MNL=90⁰.
Аналогично находим и другие углы четырехугольника.

Прямоугольные треугольники  ALB, АLN и BLM равны по гипотенузе 10 см и двум равным острым углам.
Из треугольника ВML находим ML=10·cos15⁰
Из треугольника АLN находим LТ=10·sin15⁰

Площадь прямоугольника LMTN равна произведению сторон
S=ML·LT=10·cos15⁰ ·10· sin 15⁰ = 50 ·sin30⁰ = 25 ( кв. см)