Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 с ребром а=5. A(0;0;0), B(-а;0;0),
D(0;а;0), A1(0;0;а):
а) найти координаты вектoра ВС1 ;
б) доказать, что векторы ВD и
D1B1 коллинеарны;
в) доказать перпендикулярность
векторов D1A и А1В1.

По условию отрезки КМ║АС, и МР║АВ. 

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны,  является параллелограммом

В параллелограмме  КМРА  диагональ АМ - секущая при КМ║|АР, поэтому накрестлежащие ∠КМА=∠МАР. 

Так как АМ биссектриса, то ∠КМА=∠КАМ, и ∆ АКМ - равнобедренный. 

Аналогично доказывается, что ∆ АРМ равнобедренный. 

Если  стороны параллелограмма равны,  этот параллелограмм - ромб. 

Диагонали ромба – - биссектрисы, медианы и высоты равнобедренных треугольников, образуемых ими с соседними сторонами ромба. ⇒

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. 

Дано АВСД - прямоугольная трапеция
угол ВАД =45  ВС=10
Найти АД
Решение
Из точки  В к большему основанию проведем высоту ВН
Рассмотрим треугольник АВН - прямоугольный. Сумма углов 180
угол АВН равен 180-45-90=45. Следовательно  треугольник равнобедренный и стороны при основании равны АН=ВН
Рассмотрим прямоугольник ВСДН. Проведем в нем диагональ, она делит угол пополам и получившейся  треугольник ВСД тоже равнобедренный - углы при основании равны  по 45 градусов. ВС=СД=10 см  СД=ВН как противоположные стороны  прямоугольника в нашем случае это квадрат (все стороны равны ВС=СД=НД+ВН и углы прямые).
АД=АН+НД АД=10+10=20