1. Дан прямоугольный треугольник МNР с прямым углом M. Установите соответствия между отношениями сторон и тригонометрическими функциями острого угла надо

Точки M и N - середины сторон ВС и АВ.

Отрезок MN - средняя линия треугольника АВС.

Она делит высоту пополам.

Фигура ANMC - трапеция с высотой 6 и диагоналями AM = 6√5 и CN = 7,5.

Если из точки M провести отрезок, равный и параллельный диагонали NC, то получим треугольник, равный по площади трапеции.

Основание этого треугольника АМ1 равно сумме АС + MN.

Находим проекции диагоналей на основание, длина их равна АМ1.

АМ1 = √((6√5)² -6²) + √(7,5² - 6²) = 12 + 4,5 = 16,5.

Площадь трапеции равна (1/2)*6*16,5 = 49,5 кв.ед.

По свойству подобия площадь треугольника АВС равна (4/3) площади трапеции.

ответ: S(ABC) = 49.5*(4/3) = 66 кв.ед.

A + ar = 24a + ar + ar^2 + ar^3 + .. = (a + ar) + (a + ar) r^2 + (a + ar) r^4 + ... = 24 (1 + r^2 + r^4 + ...)
Сумма геометрической прогрессии в скобках равна 1 / (1 - r^2)
24 / (1 - r^2) = 271 - r^2 = 24 / 27 = 8/9r^2 = 1/9r = +- 1/3
(Для любителей честности: расставлять скобки можно, так как геометрическая прогрессия - абсолютно сходящийся ряд. Легко придумать пример, когда скобки расставлять нельзя: например 1 - 1 + 1 - 1 + ... не имеет суммы, (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0, а из равенства 1 - 1 + 1 - 1 + .. = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + ...) можно "получить", что 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1/2)