В равнобедренную трапецию вписана окружность радиусом 7,5 см. Найдите стороны трапеции, если боковая сторона трапеции равна 17 см.
Объяснение:
1 ) ABCD- равнобедренная трапеция , AB=CD=17 cм .
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин её противоположных сторон равны ⇒АВ+СD=BC+AD,
ВС+AD=34. Пусть ВК⊥AD , CP⊥AD , тогда в прямоугольнике КВСР ВС=КР. Значит ВС+( АК+ВС+СD)=34
2) Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то она касается оснований трапеции и высоты трапеции равны 2r= BK=15(см).
ΔАВК-прямоугольный , по т. Пифагора АК=√(17²-15²)=8(см).
ΔDCP-прямоугольный , по т. Пифагора CD=√(17²-15²)=8(см).
3) ВС+( 8+ВС+8)=34 , ВС= 9 см ⇒ 9+AD=34 , AD=25 см.
Стороны трапеции 17 см, 17 см, 9 см, 25 см.
Свойство острых углов прямоугольного треугольника: сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Свойство катета, лежащего против угла в 30°: катет, лежащй против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Против меньшего угла лежит меньшая сторона, а против меньшей стороны лежит меньший угол.
Поэтому:
1. Втрой острый угол равен: 90° - 60° = 30°.
2. Значит, против угла в 30° лежит меньший катет.
Обозначим меньший катет х см, тогда гипотенуза будет равна (2х) см. Т.к. по условию задачи их сумма равна 9 см, то состаим и решим уравнение:
х + 2х = 9,
3х = 9,
х = 9 : 3,
х = 3.
Значит, меньший катет прямоугольного треугольника равен 3 см.
ответ: 1. 30°. 2. 3 см.
