Знайдіть скалярний добуток векторів а (4;-2) і б (3;7)

См. приложение (рисунок)
Дано:
параллелограмм ABCD   (AD || BC ; AB | | DC)  ; 
∠ABC  > 90° ; 
BH₁ ⊥ AD ;  BH₁ =h₁ = 3 см  ;
BH₂ ⊥ CD ;  BH₂ =h₂ = 4 см  ;
∠H₁BH₂  = 45°.
-----------------
S = S(ABCD)  - ?

S = CD*BH₂ = AB*BH₂ = AB*h₂.  Нужно найти AB.
∠A  = ∠H₁BH₂  =45°(равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами : BH₁ ⊥ AD  и  BH₂ ⊥  AB , т.к.  AB | | CD ).
Значит  прямоугольный  ΔAH₁B равнобедренный: AH₁  = BH₁= 3 см и
AB =√2 * BH₁=√2 *h₁   ( теорема  Пифагора _AB² = AH₁² + BH₁² =2*BH₁²).  
Следовательно :
S = AB*h₂  =√2 *h₁* h₂ =√2 *3 см* 4 см  =12√2 см² . 

ответ :   12√2 см² . 

Дано: АВСА₁В₁С₁ - прямая призма,

           ΔАВС: АВ = ВС = b, ∠ВАС = α,

           ∠АА₁С = φ.

           Цилиндр вписан в призму.

Найти: Объем цилиндра.

Если цилиндр вписан в призму, то основания цилиндра вписаны в основания призмы, а высоты равны.

Радиус основания цилиндра - радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Пусть ВН - высота ΔАВС. А так как он равнобедренный, то и медиана.

ΔВСН: СН = ВС · cosα = b · cosα.

AH = CH = b·cosα

AC = 2b·cosα

Центр вписанной окружности - точка О - точка пересечения биссектрис.

АО - биссектриса угла А, ОН - радиус вписанной окружности,  ∠ОАН = α/2.

ΔАОН:   ОН = АН · tg(α/2)

              r = b·cosα · tg(α/2)

ΔAA₁C: AA₁ = AC · ctg φ - высота призмы и цилиндра,

            h = 2b·cosα · ctgφ

Vцил = πr²h

Vцил = π ·  (b·cosα · tg(α/2))² ·  2b·cosα · ctgφ

Vцил = 2b³π·cos³α · tg²(α/2) · ctgφ