Биссектрисы углов С и D трапеABCD делят ее основание АВ на три равных части. Может ли диагональ АС быть впятеро больше, чем BD?

Пусть АО=ОС=r;
Δ CОВ ~ Δ АМВ по двум углам ( ∠В-общий; ∠АМВ=∠ОСВ).
СО:АМ=СВ:МВ;
r: AM=4:6,4⇒  AM=1,6r

Рассмотрим прямоугольную трапецию МСОА. Проведем высоту СЕ.
(см чертеж 2, отдельный)
Из прямоугольного треугольника ОЕА по теореме Пифагора
ОА²=ОЕ²+ЕА²;
r²=2,4²+0,36r²;
0,64r²=5,76
r²=9
r=3.

АМ=1,6r=1,6·3=4,8

Из прямоугольного треугольника АМС по теореме Пифагора
АС²=АМ²+МС²;
АС²=4,8²+2,4²=(2,4·2)²+2,4²=2,4²·(2²+1)=2,4²·5
АС=2,4√5
Δ AMC ~ Δ CMD
AC : BC=MC : CD;
2,4√5 : 4=4,8 : СD  ⇒  CD=8√5/5=1,6√5

AD=AC+CD=2,4√5+1,6√5=4√5.

По свойству касательной и секущей, проведенных к окружности малого радиуса из точки В:
произведение секущей ВА на ее внешнюю часть ВК равно квадрату касательной ВС
ВА· (ВА-AK)=BC²;  AK=2r=2·3=6
ВА· (ВА-6)=4²;
ВА²-6ВА-16=0- квадратное уравнение.
D=36+64=100
BA=(6+10)/2=8
BA=2R
2R=8
R=4

О т в е т. R=4; r=3; AD=4√5

S=8√3см²

Объяснение:

Обозначим вершины ромба АВСД, с диагоналями АС и ВД а высоту АН. Рассмотрим ∆АСД. Высота АН делит СД пополам, поэтому она является ещё медианой, следовательно ∆АСД - равнобедренный, поэтому АД=АС, а так как стороны ромба равны, то

АД=СД=АС=АВ=ВС, значит ∆АСД=∆АВС и они являются равносторонними, у которых каждый угол составляет 60°. Так как диагонали ромба, пересекаясь, образуют прямой угол и делятся пополам, то они также образуют 4 равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них: ∆АВО. В нём: ВО=ДО=4√3÷2=2√3см. Найдём сторону АВ через синус угла. Синус угла - это отношение противолежащего от угла катета к гипотенузе, тогда

Итак: все стороны ромба и диагональ АС=4см. Поскольку нам уже известна меньшая диагональ найдём площадь ромба по формуле:

Можно использовать второй вариант, чтобы найти площадь через высоту АН, проведённую к стороне ромба.

Эта высота АН в ∆АСД равна высоте ВО в ∆АВС=2√3 (так как ∆АВС=∆АСД, и они равносторонние, то их высоты равны).

Тогда S=АД×АН=4×2√3=8√3см²