Дан треугольник, вершинами которого являются точки A(-1; 3; 0), B(0; 2; -5) и C(4; -6; -1). Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной медиане AM этого треуголльника.

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые знания из геометрии и алгебры.

Шаг 1: Найдем координаты точки M - середины стороны BC. Для этого воспользуемся формулой нахождения средней точки от двух заданных точек:
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, (z₁ + z₂) / 2)
где (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) - координаты точек B и C соответственно.

Подставляя значения, получаем:
M = ((0 + 4) / 2, (2 - 6) / 2, (-5 - 1) / 2)
= (2, -2, -3)

Теперь мы знаем координаты точки M.

Шаг 2: Вычислим вектор AM, который является медианой треугольника. Для этого вычтем координаты точки A из координат точек M и A:
AM = M - A
= (2, -2, -3) - (-1, 3, 0)
= (2 + 1, -2 - 3, -3 - 0)
= (3, -5, -3)

Теперь мы имеем вектор AM.

Шаг 3: Найдем векторное произведение векторов AM и AB. Векторное произведение векторов равно вектору, перпендикулярному обоим векторам. Обозначим векторное произведение как n.
n = AM × AB

Для нахождения векторного произведения используется правило определителя:
n = (i, j, k)
(3, -5, -3)
(0 - (-1), 2 - 3, -5 - 0)

Произведем вычисления:
n = (i, j, k)
(3, -5, -3)
(1, -1, -5)
= (15 - 3, -5 + 15, -15 + 1)
= (12, 10, -14)

Теперь у нас есть вектор n, который перпендикулярен медиане AM.

Шаг 4: Составим уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной медиане AM.
Общее уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0.
Где A, B и C - коэффициенты при переменных x, y и z, D - свободный член.

Так как плоскость перпендикулярна вектору n, то коэффициенты A, B и C равны соответствующим координатам вектора n:
A = 12
B = 10
C = -14

Теперь нам нужно найти свободный член D. Для этого подставим координаты точки A в уравнение плоскости и решим уравнение относительно D:
12 * (-1) + 10 * 3 + (-14) * 0 + D = 0

Упрощаем:
-12 + 30 + D = 0
18 + D = 0
D = -18

Теперь мы знаем все коэффициенты в уравнении плоскости:
12x + 10y - 14z - 18 = 0

Ответ:
Уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной медиане AM треугольника ABC, задается уравнением 12x + 10y - 14z - 18 = 0.