Даны координаты точек: A(8;7);

B(9;1);

C(5;6);

D(−1;6).

Определи координаты векторов:

AB−→−{
;
};

AD−→−{
;
};

BC−→−{
;
};

DB−→−{
;
};

CA−→−{
;
};

CB−→−{
;
}.

Пусть ad = a1d1 — равные биссектрисы, ∠a = ∠a1, ac = a1c1 — равные стороны. в δаdс = δa1d1c1: ∠dac = ∠d1a1c1 (т.к. ∠dac половина угла ∠bac ∠dac = ∠bac : 2 = ∠b1a1c1 : 2 = ∠d1a1c1). ad = a1d1, ас = а1с1. (по условию: ad = a1d1 — равные биссектрисы, aс = a1c1 — равные прилежащие стороны). таким образом, δadc = δа1d1c1 по 1-му признаку равенства треугольников, откуда ∠с = ∠с1 как лежащие против равных сторон в равных треугольниках) в δabcи δа1в1с1: ас = а1с1, ∠а = ∠а1 (по условию) ∠с = ∠с1. таким образом, δabc = δа1в1с1 по 1-му признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

7) Примем диагональ d и высоту H, равные 2.

Тогда тангенс угла β наклона бокового ребра равен:

tg β = H/(d/2) = 2/1 = 2.

значит, β = arctg 2.  

ответ В.

Тангенс наклона апофемы A равен: tg(A) = H/(1/√2) = 2√2.

ответ Г.

В треугольнике ASC боковые рёбра угол S делится высотой пополам.

Тогда угол ASC = 2arctg(1/2).

ответ Д.

8) Примем коэффициент пропорциональности длин сторон основания за к.

Полупериметр р = к(17+10+9)/2 = 18к.

Площадь боковой поверхности Sбок = PL = (2*18k)*16 = 36k*16.

Площадь основания по Герону:

So = √(18k*1k*8k*9k) = 36k².

Приравняем полную поверхность:

1440 = 2*36k² + 36k*16, после сокращения на 72 получаем:

k² + 8k – 20 = 0.   D = 64 +4*20 = 144.

k1 = (-8 + 12)/2 = -10, не принимаем.

k2 = (-8 + 12)/2 = 2.

Находит площадь боковой поверхности Sбок = 36*2*16 = 1152 см².

ответ: Sбок = 1152 см².

9) Находим площади граней пирамиды.

p(ABC) = (13+14+15)/2 = 21 см. S(ABC) = √(21*8*7*6) = 84 см².

S(DAC) = (1/2)*9*13 = (117) см².

S(DAB) = (1/2)*9*15 = (135/2) см².

Находим высоту боковой грани BDC путём пересечения вертикальной плоскостью.

Сначала находим высоту основания из точки А.

h(A) = 2S/BC = 2*84/14 = 12 см.

Тогда h(BDC) = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 см.

Получим S(BDC) = (1/2)14*15 = 105 см².

ответ: S = 84+ (117/2) + (135/2) + 105 = 315 см².