Задача 1. Дан равносторонний треугольник АВС, в который вписан круг. Один из отрезков, на которые делит точка касания вписанной окружности на сторону треугольника равна 5 см. Найдите периметр треугольника.
Задача 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см. Найдите длину круга, описанного вокруг этого треугольника.
Объяснение:
Задача 1.
В ΔАВС-равносторонний вписана окружность , Р∈АВ, К∈ВС,М∈АС, Р,М,К-точки касания.АР=5см.
По свойству отрезков касательных и учитывая , что АВ=ВС=СА получаем :
АР=РВ=ВК=КС=СМ=МА=5 см. Значит сторона треугольника 10 см.
Р=3*АВ=30 (см).
Задача 2.
Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы⇒R=10 см. Длина окружности С=2ПR, С=2П*10=20П (см)≈62,8 (см)
Грани правильного тетраэдра - равносторонние треугольники.
Их биссектриса является и высотой и медианой.
В сечении образуется равнобедренный треугольник, одна сторона которого равна ребру тетраэдра, две других - высоты грани.
Высота грани h = a*cos 30° = a√3/2 = 5√3/2.
Площадь сечения можно определить или 1) по формуле Герона, или 2) через высоту сечения.
1) Полупериметр p = 6,83013. Площадь S = √(p(p-a)(p-b)(p-c).
Поставив данные, получаем:
S = √( 6,83013*1,830123*2,5*2,5) = √78,125 = 8,83883.
2) Высота сечения из середины ребра на противоположное ребро равна:
h(c) = √(h² - (a/2)²) = √(18,75 - 6,25) = √12,5 ≈ 4,33013.
S = (1/2)*h(c)*a = (1/2)*5*4,330135 = 8,83883.
