В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точка О - центр грани АBCD. Отрезок A1О составляет с плоскостью DBB1 угол 60°. Вычислите объем призмы, если известно что, диагональ основания равна 2√3 см.​

Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник, в случае  правильной четырехугольной призмы - основанием призмы является квадрат. 
Правильная четырехугольная призма - прямоугольный параллелепипед. 
Пусть данная призма - АВСДА₁В₁С₁Д₁ 
Сделаем рисунок. (Во втором рисунке призма «уложена" на боковую грань для большей наглядности. ) 
Решение. 
АВ ⊥ ВС1 (если прямая перпендикуляра плоскости, она перпендикулярна любой прямой на этой плоскости).
  Диагональ АС₁ - гипотенуза прямоугольного треугольника АВС₁
Тогда АВ, сторона основания,  противолежащая углу 30º, равна половине АС₁ 
АВ=ВС=СД=ДА=2  
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. 
D²=а²+b²+c²16=2²+2²+h²⇒ 
h²=16-8=8  
h=√8=2√2 
Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее основания на высоту. 
Р=4*2=8 см 
Ѕ бок=8*2√2=16√2 см²
-------------.
Высоту  призмы можно найти иначе. 
а) Сначала найдем диагональ ВС₁ боковой грани- она  равна АС₁·cos 30°=(4 √3):2=2 √3
 Высоту h трапеции найдем по т. Пифагора из треугольника ВСС₁ 
h² =(2 √3)²+2²=12-4=8
h=2√2 
-------
 б) Тот же результат получим, найдя по т. Пифагора из треугольника АВС₁  диагональ ВС₁  боковой грани, затем из прямоугольного треугольника ВСС₁  
высоту призмы СС₁. 

1. AB

2. угол B

3. Основание.

4. a, b - катеты, с - гипотенуза.

а < с, b < c

5. КМ

6. 8 см

Объяснение:

1. Найдем угол С = 180 - (58+66) = 56

угол C меньше чем углы А и B.

Так как напротив меньшего угла лежит меньшая сторона, то АB будет меньшей стороной

2. Напротив большего угла большая сторона, значит напротив большей стороны - больший угол.

АС больше чем АВ и АD, напротив АС угол В

3. Тупым углом считается угол, больше чем 90 градусов. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, если мы возьмём за тупой угол угол при основании, то получим что в треугольнике будет два тупых угла, и их сумма будет превышать 180, что невозможно по теореме о сумме углов треугольника. Значит, тупым углом будет угол при вершине. Так как угол при вершине тупой, два оставшихся угла при основании - острые и равны. Острый угол при меньше, чем тупой при вершине, а значит сторона, лежащая напротив угла при вершине, будет являться большей. Сторона, лежащая напротив угла при вершине в равнобедренном треугольнике является основанием, значит основание будет больше, чем боковые стороны.

4. Так как напротив гипотенузы лежит прямой угол в 90°, то по теореме о сумме углов треугольника, сумма двух других углов = 90°, а значит два других угла в любом случае будут меньше чем прямой угол => угол в 90° - самый больший, а значит и гипотенуза, лежащая напротив него, будет больше катетов.

5. Так как гипотенуза всегда больше, чем катет, то КМ будет являться гипотенузой.

Проверим через теорему Пифагора

4²+3² = 5²

16 + 9 = 25

25 = 25, √25 = 5 => 5=5

6. Треугольник равнобедренный, значит у него две равные стороны и основание. Возьмём за основание 16 см, значит, боковая сторона 8 см. По свойству равнобедренного треугольника вторая боковая сторона тоже будет 8 см. Проверим по теореме о сумме сторон(сумма двух сторон не должна быть больше оставшейся стороны)

8+8=16 чм, вторая сторона тоже 16 см, значит, длина третьей стороны - 8 см

Возьмём за боковую сторону 16 см, тогда основание будет 8 см. Точно так же по свойству равнобедренного треугольника получим, что вторая боковая сторона будет 16 см. Проверим по теореме о сумме сторон:

16+16 = 32 см, 32 см > 8 см => такого треугольника не существует.