Рассмотрим ∆ АВD и ∆ СВЕ
Оба прямоугольные и имеют общий острые угол АВС.
Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
Из подобия следует отношение
ВЕ:ВD=ВС:АВ⇒ВD•ВС=ВЕ•АВ ⇒
ВЕ:ВС=ВD:АВ
Две стороны ∆ ВЕD пропорциональны двум сторонам треугольника АВС, и угол между ними общий.
2-й признак подобия треугольников:
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Следовательно, ∆АВС и ∆ ВЕD подобны, что и требовалось доказать.
Можно добавить. что коэффициент подобия равен косинусу общего угла, т.к. отношение катетов ∆ СВЕ и ∆ АВД к их гипотенузам соответственно равны косинусу угла В треугольника АВС.
Дано: 
Найти: 
Решение: Заметим, что 
по двум углам. Один угол общий, 
- как односторонние углы при параллельных прямых КМ и ВС и секущей ВК.
Также 
по двум углам. Один угол общий, 
- как односторонние углы при параллельных прямых LМ и AВ и секущей ВC.
Значит, по свойствам подобия треугольников
Вычислим коэффициент подобия этих треугольников
Заметим также, что
- по свойству параллельных прямых.
По свойству параллелограмма ML=KB. По свойству подобия треугольников
Пусть АК=4х, тогда КВ=ML=5x. AK+KB=AB=4x+5x=9x.
Значит 
- это коэффициент подобия треугольников AKM и AВС. Вычислим площадь теугольника АВС.
По своствам площадей
Подставим известные значения
ответ:
