ABCD — трапеция; ∢A=43°

∢C=119°

Найти:
∢B, ∢D.

ответ:
∢B=

∢D=
​

Теорема про три перпендикуляри. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.На малюнку 415 АН - перпендикуляр до площини α; АМ - похила. Через основу похилої - точку М проведено пряму а. Теорема про три перпендикуляри стверджує, що якщо а  НМ, то а  АМ, і навпаки, якщо а  АМ, то а  НМ.

Приклад 1. З вершини квадрата АВСD проведено перпендикуляр АК до площини квадрата. Знайти площу квадрата, якщо КD = 5 см; КС = 13 см.Розв’язання (мал. 416). 1) АК  АВС; КD - похила; АDБ - її проекція. Оскільки АD  DС, то за теоремою про три перпендикуляри маємо КD  DС.3) Тоді площа квадрата S = 82 = 64 (см2).

Приклад 2. Сторони трикутника довжиною 4 см, 13 см і 15 см. Через вершину найбільшого кута до площини трикутника проведено перпендикуляр і з його кінця, що не належить трикутнику, проведено перпендикуляр завдовжки 4 см до протилежної сторони цього кута. Знайти довжину перпендикуляра, проведеного до площини трикутника.Розв’язання. 1) У ∆АВС: АВ = 4 см; ВС = 13 см; АС = 15 см. Оскільки АС - найбільша сторона трикутника, то АВС - найбільший кут трикутника. ВК  АВС (мал. 417).2) КМ  АС, тоді за теоремою про три перпендикуляри: ВМ  АС, тобто ВМ - висота ∆АВС. За умовою: КМ = 4см.3) Знайдемо площу трикутника АВС за формулою Герона.4) 3 іншого боку 

Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

В данном треугольнике эти точки совпадают - медианы являются также высотами.

Совпадение медианы и высоты к основанию - признак равнобедренного треугольника.

Таким образом данный треугольник является равнобедренным относительно любой стороны, то есть равносторонним.

O - точка пересечения медиан, AA1 - медиана, A1 - середина BC.

O - точка пересечения высот (ортоцентр), AA1 проходит через точку O => AA1 - высота, AA1⊥BC

∠AA1B=∠AA1C=90 (AA1 - высота)

BA1=CA1 (AA1 - медиана)

△BAA1=△CAA1 (по двум катетам, AA1 - общий) => AB=AC

(Доказали: Если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.)

Аналогично: BB1 - медиана и высота к стороне AC => AB=BC

AB=AC=BC, △ABC - равносторонний