РЕШИТЬ! ВАМ ПРОСТО А ДЛЯ МЕНЯ ОБЛЕГЧЕНИЕ + ВАМ БОНУСОВ НАКИНУ СЕРДЕЧКА ЗВЁЗДЫ И Т.Д 1. Виберіть правильне твердження.
А) Через точку простору, що не лежить на прямій, можна провести безліч прямих, які
паралельні даній;
Б) дві прямі, які паралельні третій, перетинаються в одній точці;
В) якщо дві точки прямої належать площині, то вона її перетинає;
Г) через пряму і точку поза нею можна провести дві різні площини;
Д) через точку простору, що не лежить на площині, можна провести безліч прямих, які
перетинатимуть цю площину.
2. Точки А і С належать площині (a), точки В і D належать площині β. Укажіть чотири
прямі, які перетинатимуть площину β.
А) АС; Б) CD; В) BD;
Г) AB; Д) BC; Е)AD.
3. Відрізки АВ, АС, KB, KD перетинають площину a. Виберіть відрізки,
які перетинатимуть площину a.
А) AK; Б) AD; В) BD; Г) KC; Д) CD.
4. Трикутник АВС перетинає площину (a) в точках В 1 і С 1
(рис. 1.). Знайдіть довжину відрізка В 1 С 1 , коли відомо, що
AB 1 : B 1 B = 2 : 3, а BC = 15 см, BC ∥ B 1 C 1 .
А) 5 см; Б) 10 см; В) 7,5 см; Г) 6 см; Д) 9 см.
5. Через кінці відрізка АВ (рис. 2.), який не перетинає площину (a), та
його середину С проведено паралельні прямі, які перетинають площину
(a) в точках А 1 , В 1 , С 1 відповідно. Знайдіть довжину відрізка СС 1 , якщо
AA 1 = 12 см, BB 1 = 16 см.
А) 6 см; Б) 8 см; В) 12 см;
Г) 14 см; Д) 20 см.
6. Дві вершини А і В трикутника АВС
(рис. 3) належать площині (a), а С– не належить їй. Через точку D, що належить стороні
АС, проведено пряму DD 1 ∥ BC. Знайдіть довжину відрізка DD 1 , коли
відомо, що AD 1 = 4,5 см, D 1 B = 1,5 см, BC = 8 см.
А) 6 см; Б) 3,5 см; В) 2 см; Г) 6,5 см; Д) 4 см.

В прямоугольном треугольнике АКС угол К равен 60° (дано).  =>

∠САК = 30°, значит АК - биссектриса угла А.

Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон (свойство).  Тогда СК/КВ = АС/АВ.

Но АВ = 2·АС (так как катет АС лежит против угла В, равного 30°). =>

СК/КВ = АС/(2АС) = 1/2.  =>

СК  = КВ/2 = 12/2 = 6 см.

Или так:

∠АКС = 60° (дано) => ∠САК = 30° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника САК). => ∠ВАК = 30°.  =>

Треугольник АКВ равнобедренный, так как ∠В = 30° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника АВС). и ∠ВАК = 30° (доказано выше).  =>

АК = ВК = 12 см.

В прямоугольном треугольнике АКС угол КАС = 30°, значит

СК = АК/2 = 12/2 = 6см.

Или так:

Пусть СК = х.  =>  ВС = 12+х.

В прямоугольном треугольнике АВС угол В равен 30° по сумме острых углов.

Tg(∠B) = tg30 = AC/BC = √3/3.  =>  

AC =  √3·(12+х)/3.  (1)

В прямоугольном треугольнике АКС угол К равен 60° (дано).

Tg(∠К) = tg60 = AC/CК = √3.  =>  

AC =  х√3.  (2).

Приравняем (1) и (2):  √3·(12+х)/3 = х√3.  => 12+х =  3х.  =>

СК = х = 6 см.

Правильный многоугольник - это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

Полезно запомнить формулы, выражающие сторону правильного n-угольника через радиус R описанной и через радиус r вписанной окружностей: а = 2R · sin(180°/n) и a = 2r · tg(180°/n), откуда

а₃ = R√3, а₄ = R√2 и а₃ = 2r√3, a₄ = 2r.

1) а = 6√3 - сторона правильного треугольника

   а) Р = 3а = 3 · 6√3 = 18√3;

   б) S = a²√3/4 = (6√3)² · √3/4 = 36 · 3 · √3 /4 = 27√3;

   в) R = а/√3 = 6√3/√3 = 6;

   г) r = а/(2√3) = 6√3/(2√3) = 3.

2) а = 5 - сторона квадрата

   а) Р = 4а = 4 · 5 = 20;

   б) S = a² = 5² = 25;

   в) R = а/√2 = 5/√2 = 5√2/2;

  г) r = а/2 = 5/2 = 2,5.