Дано AD пенпиндикулярно BC,BD=CD(рисунок 138).Докажите,что AB=AC.​

BF - высота к АС, АЕ - высота к ВС. Точка К - пересечение продолжений высот треугольника АВС. 
<OCB=60° (треугольник АВС равноведренный и АС=СВ), значит <CBА=30°. Это вписанный угол, опирающийся на дугу АС. Угол АОС - центральный угол, опирающийся на дугу АС и следовательно равен 2*<CBА =60°. Итак, <OCB=<AOC=60°, а это накрест лежащие углы при прямых ВС и АО и секущей ОС. Значит СВ параллельна АО. точно так же АС параллельна
ОВ. Значит АСВО - параллелограмм с перпендикулярными диагоналями (ОС перпендикулярна АВ так как АВС равнобедренный треугольник), то есть РОМБ. Отсюда <OBC=60°. Но <KBC=30° (так как в прямоугольном треугольнике BCF <BCF=60°(смежный с <ACB=120°).
Значит треугольник ОВК прямоугольный с углом ОВК=90° и <OKB=30° (так как <ABK=60°). В прямоугольном треугольнике ОКВ против угла 30° лежит катет ОВ, равный радиусу вписанной окружности, следовательно, гипотенуза ОК=2*ОВ, то есть равна диаметру этой окружности, что и требовалось доказать.

 Положим что это верно , то есть  делить  ,     точки касания ,   тогда и вторая диагональ   делить   из-за того что трапеция равнобедренная . 
   Продлим  за точки   , тогда и замечательного свойства трапеций , того что отрезок соединяющий диагонали и основания , проведенный из вершины проходит через одну точку , но так как трапеция равнобедренная , получим  что прямая проведенная с вершины треугольника  , будет делить   на  , но так как    , то и  и точки пересечения диагоналей и  будут пересекаться в одной точке ,а значит  изначальное условие было верно . 
   
Так как трапеция , равнобедренная , диагонали делят на треугольники ,  два из которых подобны ,  если большее основание и меньшее      равны             тогда      высоты треугольников образованных отрезками диагоналей и основаниями .  Получим 
  
  То есть основания относятся как