В тетраэдре DABC DA=DC=13, AC=10, E-середина BC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку E параллельно плоскости ADC, и найдите площадь сечения.
Построение сечения:
Сделаем рисунок тетраэдра.
На середине ВС отметим точку Е.
Проведем ЕК параллельно АС.
На боковых гранях ВСD и ВАD проведем из Е и К параллельно ребрам СD и АD прямые до пересечения на ребре в точке М.
КМ и ЕМ - средние линии ∆ ADB и ∆ CDB
В плоскости КМЕ пересекающиеся прямые КЕ и ЕМ соответственно параллельны пересекающимся прямым АС и DС.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.⇒
плоскость сечения КМЕ || плоскости ADC.
––––––––––––––––
В тетраэдре боковая грань ADC – равнобедренный треугольник по условию. Треугольники КМЕ и АDC подобны, т.к. стороны ∆ МКЕ - средние линии ∆ АВС, ⇒ k=АС:КЕ=2
Высота DН равнобедренного треугольника АDС - его медиана. ⇒ АН=НС=5, ∆ ADH=CDH - прямоугольные.
По т. Пифагора DН=12, но можно обойтись без вычислений, если вспомнить, что стороны треугольника АDН из часто встречающихся в задачах Пифагоровых троек с отношением 13:5:12
Тогда S ∆ ADC=DH•AH=12•5=60
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
S ∆ ADC:S ∆ KME=k²= 4
S ∆ KME=60:4=15 (ед. площади)
