Около правильного треугольника описана окружность радиуса R. докажите что R = 2r, где r - радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
=============================================================
В правильном треугольнике высоты, медианы и биссектрисы совпадают: АМ = BE = CD. Соответственно, совпадают и центры описанной и вписанной окружности. Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перепендикуляров, то есть высоты данного треугольника ⇒ АО = ВО = СО = R . Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис, то есть биссектрисы данного треугольника ⇒ OE = OM = OD = r.Так как AM = BE = CD - медианы ΔАВС ⇒Медианы треугольника пересекаются и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.Значит, СО:ОD = 2:1 ⇒ R:r = 2:1 ⇒ R = 2r, что и требовалось доказать.
Объяснение:
докажем, что треугольники bmn и lkd- равны, у них:
1) bm=kd по условию
2)mn= lk т.к. mnlk параллелограмм
3) углы bmn и lkd равны, т.к. lmn и lkn равны из-за mnkl- параллелограмм, а bmn и lkd являются смежными для этих двух углов, тоесть тоже равны
дальше докажем, что треугольники ncd и abl равны, у них:
1) al=nc по условию
2) bl= dn т.к. kd=bm по условию, а ml=nk из-за параллелограмма mnkl
3)углы alb и dnc равны, т.к. углы bnm+mnk= dlk+mlk т.к. параллелограмм mnkl и равные треугольники, следовательно смежные этим углам alb и dnc равны
теперь мы знаем, что ab=dc т.к. треугольники abl и ncd равны и bc=ad, т.к. представляют собой сумму сторон bn и nc, al и ld, которые в свою очередь тоже принадлежат равным треугольникам, следовательно abcd- параллелограмм по признаку, где стороны попарно равны
