Два противоположных угла четырёхугольника равны, а его диагонали перпендикулярны. Докажите, что диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Горизонтально рисуем прямую.
На ней радиусом 1 - окружность, левая точка пересечения с прямой - А, центр Б, правая точка пересечения с прямой - С.
Из С перпендикулярно прямой вверх откладываем прямую, на ней отрезок длиной 2, верхняя точка этого отрезка - Д
расстояние БД = √5
Из точки Б радиусом √5 строим окружность до пересечения с прямой и получаем точку Е
АЕ = 1+√5
Из точки Е строим вверх перпендикуляр
Из точки А радиусом 4 строим окружность до пересечения с перпендикуляром из пункта. точка пересечения - Ж
Готово
sin(54) = (1+√5)/4 = АЕ/АЖ
Угол АЖЕ = 54°

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. 
AB:CD = 1:2  и  BD:AC = 2:3    

ΔABO и ΔCDO
∠AOB = ∠DOC   - вертикальные углы
∠BAC = ∠BDC  -  вписанные углы опираются на одну дугу CB
⇒  ΔABO ~ ΔCDO  по двум равным углам.
AB : CD = 1 : 2     ⇒

⇒  OD = 2AO;   OC = 2BO

AC = AO + OC = AO + 2BO
BD = BO + OD = BO + 2AO

По условию  BD : AC = 2 : 3   ⇒

3(BO + 2AO) = 2(AO + 2BO)
3BO + 6AO = 2AO + 4BO
4AO = BO    ⇒     AO : BO = 1 : 4

ΔAOD и ΔBOC
∠AOD = ∠BOC  - вертикальные углы
∠CBD = ∠DAC  - вписанные углы опираются на одну дугу CD ⇒
ΔAOD ~ ΔBOC  по двум равным углам   ⇒


ответ:   AD : BC = 1 : 4