Задание 8. Начертите угол Аов, равный 60°. Дополните лучи ОА и ОВ до прямых. Найдите градусные меры полученных углов

* * * пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике * *
h² =a₁*b₁,где a₁ и b₁ проекции катетов a и b на гипотенузе(отрезки разд.  высотой)  || Пусть a₁ =9 см ; b₁= (h+4) см || .
h² =9(h+4) ;
h² -9h  -36 =0 ;
[h= -3 ( не решения ) ; h =12 (см) .
b₁ =h+4 = 12+4 =16 (см).
Гипотенуза c = a₁+b₁ = 9 см+ 16 см  =25 см .

a =√(a₁²+ h²) =  √(9²+ 12²)  =15 (см) .  || 3*3; 3*4 ; 3*5 || 
или из a² =c*a₁=25*9⇒ a=5*3 =15  (см) .
b = (b₁²+ h²) = √(16²+ 12²) = 20 (см) .  || 4*3; 4*4 ; 4*5 ||
или из b² =c*b₁=25*16 ⇒ b=5*4 =20 (см) .

ответ: 15 см, 20  см, 25 см . || 5*3; 5*4 ; 5*5 |

Сторона описанного правильного треугольника на √6 больше стороны правильного четырёхугольника, вписанного в ту же окружность. Найти сторону треугольника.

Правильный четырехугольник - квадрат, и диаметром окружности, в которую он вписан, является его диагональ. 

Обозначим вписанный квадрат КОМН

Пусть его стороны=а.

Тогда диаметр РН описанной вокруг него окружности равен а√2,

 радиус ОН=а√2):2=a/√2

Стороны описанного треугольника АВС=а+√6

Радиус ОН вписанной в него окружности =ВН/3

ВН=АВ*sin 60º=√3*(а+√6):2

OH=√3*(а+√6):6

Приравняем оба значения ОН:

a/√2=√3*(а+√6):6 из чего следует 

а=(а+√6):√6⇒

a=√6:(√6-1)

АВ=[√6:(√6-1)]+√6

АВ=(√6+6-√6):(√6-1)=6:(√6-1)