Даны точки A(0;3;-1), B(-1;-2;5), C(1;0;-4), D(-3;-1;-2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
Находим векторы АВ и АС: АВ = (-1; -5; 6), АС = (1; -3; -3).
Их векторное произведение равно:
i j k| i j
-1 -5 6| -1 -5
1 -3 -3| 1 -3 = 15i + 6j + 3k - 3j + 18i + 5k =
= 33i + 3j + 8k.
Нормальный вектор плоскости АВС это (33; 3; 8).
Уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0.
Подставим координаты точки А: 33*0 + 3*3 + 8*(-1) + D = 0.
1 + D = 0. отсюда D = -1.
Получаем уравнение плоскости АВС: 33x + 3y + 8z - 1 = 0.
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС;
Для параллельной плоскости нормальный вектор сохраняется.
Подставим координаты точки D(-3;-1;-2):
33*(-3) + 3*(-1) + 8*(-2) + D = 0,
-99 - 3 - 16 + D = 0,
-118 + D = 0, отсюда D = 118.
Уравнение 33x + 3y + 8z + 118 = 0.
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0
используем формулу:d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D| /√(A² + B² + C²)
Подставим в формулу данные:
d = |33·(-3) + 3·(-1) + 8·(-2) + (-1)|/ √(33² + 3² + 8²) = |-99 - 3 - 16 - 1|/ √(1089 + 9 + 64) = 119/ √1162 = 17√1162/166 ≈ 3.49095.
4) канонические уравнения прямой АВ; точка A(0;3;-1).
Вектор АВ найден выше: АВ = (-1; -5; 6).
Уравнение АВ: x/(-1) = (y - 3)/(-5) = (z + 1)/6.
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; Направляющий вектор АВ(-1; -5; 6) для параллельной прямой сохраняется. Подставляем координаты точки D(-3;-1;-2).
Уравнение : (x + 3)/(-1) = (y + 1)/(-5) = (z + 2)/6.
6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D(-3;-1;-2) перпендикулярно прямой AB.
Вектор АВ (-1; -5; 6) будет нормальным вектором этой плоскости.
Уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0.
Подставим координаты вектора и точки D:
(-1)*(-3) + (-5)*(-1) + 6*(-2) + D = 0.
-4 + D = 0. отсюда D = 4.
Уравнение: (-1)x + (-5)y + 6z + 4 = 0 или с положительным коэффициентом перед х:
x + 5y - 6z - 4 = 0.
Четырёхугольник MNKP - прямоугольник.
Отрезки MK и NP - диагонали.
Точка О - точка пересечения диагоналей.
∠MON = 64°.
Найти :∠ОМР = ?
Решение :Диагонали прямоугольника равны между собой и, по свойству параллелограмма, пересекаясь, делятся пополам.Отсюда имеем, что -
Рассмотрим ΔМОР - равнобедренный (так как равны две стороны).
Причём МО и ОР - боковые стороны.
Углы у основания равнобедренного треугольника равны (они-то как раз и лежат против боковых сторон).Поэтому -
∠ОМР = ∠ОРМ.
∠NOM - внешний для ΔМОР.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.Отсюда -
∠NOM = ∠ОМР + ∠ОРМ
∠ОМР + ∠ОРМ = 64°
Учитывая равенство углов -
∠ОМР = 64° : 2 = 32°.
ответ :32°.
№2.Дано :Четырёхугольник ABCD - равнобокая (равнобедренная) трапеция.
Один из углов больше другого на 30°.
Найти :∠А = ?
∠В = ?
∠С = ?
∠D = ?
Решение :Про какие именно углы идёт речь в задаче?
Дело в том, что -
Углы у основания равнобедренной трапеции равны (на рисунке выделены дугами).Отсюда -
∠D не может быть больше ∠С на 30°, потому что они равны.
Аналогично и с ∠А и ∠В.
Возьмём ∠D за х, тогда остаётся что ∠А = х+30°.
Сумма внутренних углов любого четырёхугольника равна 360°.Составляем уравнение и решаем его -
∠А + ∠В + ∠С + ∠D = 360°
(х + 30°) + (х + 30°) + х + х = 360°
4х + 60° = 360°
4х = 300°
х = 75°.
∠А = х + 30° = 75° + 30° = 105°
∠В = х + 30° = 75° + 30° = 105°
∠С = х = 75°
∠D = х = 75°.
ответ :105°, 105°, 75°, 75°.
№3.Дано :Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.
Стороны АВ и ВС - смежные.
ВС : АВ = 3 : 1.
Р(ABCD) = 40 см.
Найти :АВ = ?
ВС = ?
CD = ?
AD = ?
Решение :Пусть АВ = х, тогда ВС = 3х.
Периметр параллелограмма равен удвоенно сумме его смежных сторон.Отсюда -
Р(ABCD) = 2*(АВ + ВС)
40 см = 2*(х + 3х)
х + 3х = 20 см
4х = 20 см
х = 5 см.
АВ = х = 5 см
ВС = 3х = 3*5 см = 15 см.
Противоположные стороны параллелограмма равны.Отсюда -
АВ = CD = 5 см
ВС = AD = 15 см.
ответ :5 см, 15 см, 5 см, 15 см.
№4.Дано :Четырёхугольник ABCD - прямоугольная трапеция.
Разность двух углов, прилежащих к боковой стороне = 48°.
Найти :∠А = ?
∠В = ?
∠С = ?
∠D = ?
Решение :∠А = ∠В = 90° (по определению прямоугольной трапеции).
Подмечу, что они действительно "прилегают" к боковой стороне. Но их разность не может быть равна 48°, так как они равны (90° - 90° = 0).
Поэтому, углы которые "прилегают" к боковой стороне CD точно должны давать в разности 48°.
Пусть ∠С = х (больший угол), а ∠D = у (меньший угол).
Сумма двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.Составим систему и решим её -
1)
2)
∠C = x = 114°
∠D = y = 66°.
ответ :90°, 90°, 114°, 66°.
