Дано три паралельні площини alpha comma space beta comma space gamma. Х1, Х2, Х3 - точки перетину цих площин з довільною прямою. Доведіть, що відношення довжин відрізків Х1Х2 : Х2Х3 не залежить від прямої, тобто однаково для будь-яких двох прямих

Есть такое  свойство касательных к окружности, проведенных из одной точки. Если точка снаружи от окружности, то этих касательных две, и они равны. Ну, в том смысле, что равны отрезки обеих касательных от точки до точек касания.
Вы это просто обязаны знать :(
Для этой задачи это означает вот что (обратите внимание - дальше идет решение задачи)

AK = AM = 6; CP = CM = 8; BK = BP = 7;
AB + BC + AC = AK + BK + BP + CP + CM + AM = 2*(AM + CM + BP) = 2*(6 + 8 + 7) = 42;

Это все решение. Правда сложная задача? 
Сам треугольник имеет стороны 13, 14, 15, его площадь 84, высота к стороне 14 равна 12 и делит её на отрезки 5 и 9, радиус вписанной окружности равен 4, а радиус описанной окружности равен 65/8; 
Это чуток посложнее будет, но уж точно это - задача :)

Добрый день! Разберем этот вопрос по шагам.

1. Возьмем треугольник АВС. Угол В равен 30°, а ВС равно 12. Нам нужно найти длину стороны АС.
Так как в треугольнике сумма углов равна 180°, угол АСВ (противоположный углу В) равен 180° - 90° - 30° = 60°.
Таким образом, у нас получается треугольник с углом 60°, 90° и 30° (треугольник 30-60-90).

2. В треугольнике 30-60-90 КМ является гипотенузой и равна 12, а угол М равен 60°. Нужно найти длину стороны МН.

3. В треугольнике 30-60-90 с искомой стороной МН, соотношение между сторонами гласит: МН = (1/2) * гипотенуза.
Подставляем значения: МН = (1/2) * 12 = 6.

Ответ: МН = 6.