Похожая задача есть в старинной китайской книге «Девять книг о математике». «Ширина водохранилища равна 1,8 джан (1 джан = 10 чи). В его центре растёт тростник, высота которого выше уровня воды составляет 3 чи. Этот тростник можно пригнуть таким образом, что его верхушка коснётся берега. Найдите глубину водохранилища и высоту тростника».

Добрый день!

Для определения расстояния от точки е до плоскости, заданной тремя точками а, в, с, мы можем воспользоваться формулой, которая вычисляет расстояние от точки до плоскости без преобразования эпюра.

Формула для вычисления расстояния от точки до плоскости:

d = |(Ax + By + Cz + D)| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2),

где (x, y, z) - координаты точки е,
(A, B, C) - коэффициенты плоскости,
D - свободный член плоскости.

Для применения данной формулы нам необходимо найти коэффициенты плоскости A, B, C и свободный член D.

Исходя из заданной плоскости, которая проходит через точки а, в, с, мы можем использовать эти точки для нахождения коэффициентов.

1. Найдем коэффициенты A, B и C. Для этого воспользуемся свойством векторного произведения.

Векторное произведение двух векторов даёт нормальный вектор к плоскости.

Для нахождения нормального вектора плоскости возьмем два вектора, образованных парами точек:

вектор АВ - (40-90, 0-30, 50-0) = (-50, -30, 50),
вектор ВС - (40-90, 0-30, 50-0) = (-50, -30, 50).

Выполним векторное произведение этих двух векторов:

Нормальный вектор плоскости = (АВ) × (ВС) = (50*(-50) - 30*(-30), 50*(-50) - 50*(-50), -50*(-30) - 50*(-30)) = (400, 0, 0).

Таким образом, коэффициенты плоскости A, B и C равны 400, 0 и 0 соответственно.

2. Найдем свободный член D. Для этого подставим координаты одной из точек, например, точки а(90,30,0), в уравнение плоскости и решим его относительно D.

Уравнение плоскости имеет вид: Ах + By + Cz + D = 0.

Подставим координаты точки а(90,30,0):

400*90 + 0*30 + 0*0 + D = 0.

36000 + D = 0.

D = -36000.

Таким образом, свободный член D равен -36000.

Теперь, когда у нас есть коэффициенты плоскости A, B, C и свободный член D, мы можем воспользоваться формулой для расчета расстояния от точки до плоскости:

d = |(Ax + By + Cz + D)| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).

Подставим значения коэффициентов и координат точки е(10,30,20) в формулу:

d = |(400*10 + 0*30 + 0*20 + (-36000))| / sqrt(400^2 + 0^2 + 0^2).

d = |4000 + (-36000)| / sqrt(160000) = |-32000| / 400 = 32000 / 400 = 80.

Таким образом, расстояние от точки е до плоскости, заданной точками а, в, с, составляет 80 единиц длины.

Надеюсь, данное объяснение помогло вам понять процесс определения расстояния от точки до плоскости. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!

Половина высоты относится к радиусу вписанной окружности основания как tg(a)
tg(a) = h/2/r
r = h/(2tg(a))
В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности - это точка пересечения медиан, биссектрис и высот. Медианы делятся точкой пересечения как 2 к 1 начиная от угла, и которого построена медиана. Поэтому полная длина медианы равна 3r
Рассмотрим прямоугольный треугольник, равный половине основания. Обозначим сторону основания x. Тогда по Пифагору
x² = (x/2)² + (3r)²
3/4*x² = 9r²
x² = 12r²
x = 2√3*r = 2√3*h/(2tg(a)) = h√3/tg(a)
Площадь основания
S = 1/2*x*3r = 1/2*h√3/tg(a)*h/(2tg(a)) = √3/4*(h/tg(a))²
И объём 
V = 1/3*S*h = 1/3*√3/4*(h/tg(a))²*h = 1/(4√3)*h³/(tg(a))²
на картинке слева сечение пирамиды в вертикальной плоскости, справа - основание.