Точки М и К - середины рёбер А1D1 и DD1 куба ABCDA1B1C1D1 ребро которого равно 6 см. Прямая МК пересекает плоскость ABC в точке L. Найдите отрезок BL.

Сначала найдем высоту BD, из прямоугольного ΔBCD по теореме Пифагора

BD² = BC² - CD² = 37 - 5² = 37 - 25 = 12,

BD = √(12) = 2*√3 см.

Из прямоугольного ΔABD найдем:

∠ABD = 180° - 90° - ∠BAD = 90° - 30° = 60°.

Продолжим отрезок BD за точку D и отложим на прямой BD отрезок

DB₁ = BD. И проведём отрезок AB₁. Тогда прямоугольный

ΔABD = ΔAB₁D (по двум катетам и прямому углу).

Тогда ∠AB₁D = ∠ABD = 60° и тогда 30° = ∠A = ∠BAD = ∠B₁AD, и

∠BAB₁ = ∠BAD + ∠B₁AD = 30° + 30° = 60°

Получаем, что в ΔBAB₁ все углы по 60°. Против равных углов в треугольнике лежат равные стороны, поэтому ΔBAB₁ равносторонний, поэтому AB = BB₁,

BB₁ = BD+DB₁ = 2*BD = 2*2*√3 = 4*√3 и

AB = BB₁ = 4*√3.

Из прямоугольного ΔABD по теореме Пифагора найдем AD:

AD² = AB² - BD² = (4*√3)² - (2*√3)² = 16*3 - 4*3 = 12*3 = 36,

AD = √36 = 6 см.

AC = AD+CD = 6см+5см = 11см.

S(ΔABC) = (1/2)*AC*BD = (1/2)*(11см)*(2*√3 см) = 11*√3 см²

Московское княжество занимало довольно выгодное центральное положение по отношению к другим русским землям. Проходившие по его территории речные и сухопутные пути придавали Москве значение важнейшего узла торговых и иных связей между русскими землями.

Москва стала в ХIV в. крупным торгово-ремесленным центром. Московские ремесленники приобрели известность как искусные мастера литейного, кузнечного и ювелирного дела. Именно в Москве зародилась и получила боевое крещение русская артиллерия.

Торговые связи московских купцов «сурожан» и «суконников» протянулись далеко за пределы русских земель. Прикрытые с северо-запада от Литвы Тверским княжеством, а с востока и юго-востока от Золотой Орды другими русскими землями, Московское княжество в меньшей степени подвергалось внезапным разорительным набегам золотоорцынцев. Это позволяло московским князьям собирать и копить силы, создавать постепенно превосходство в материальных и людских ресурсах, что6ы выступить организаторами и руководителями объединительного процесса и освободительной борьбы. Географическое положение Московского княжества предопределило и его роль этнического ядра формировавшейся великорусской народности. Все это в соединении с целенаправленной и гибкой политикой московских князей во взаимоотношениях с Золотой Ордой и другими русскими землями и обусловило, в конечном счете, победу Москвы за роль руководителя и политического центра формирования единого Русского государства.