3. Чему равна меньшая диагональ ромба со стороной аи острым углом в 60°?
4. В ромбе одна из диагоналей равна его стороне. Найдите углы ромба.

Для начала вычислим длину второго катета по т. Пифагора: √(5²-3²)=4.
Теперь построим прямой угол.
Чертим прямую, отмечаем на ней две произвольные точки. Берем циркуль и, делая его раствор больше расстояния между выбранными точками, делаем засечки по обе стороны прямой с одной точки и не меняя раствор циркуля с другой точки. Получились две точки по разные стороны прямой образованные засечками циркуля. Соединив эти точки получаем перпендикуляр к выбранной прямой который является исходным углом для построения прямоугольного треугольника. Откладывая на сторонах прямого угла катеры 3 и 4 получается искомый прямоугольник с углом против катета 3 ед синус которого равен 3/5.  

Дан куб АВСDА1В1С1D1. Докажите В1D перпендикулярен D1С.

Объяснение:

Введем прямоугольную систему координат: В(0;0;0) ,ось ох по ребру ВА, ось оу по ребру ВС, ось оz по ребру ВВ1 .

Пусть ребро куба а, тогда координаты

В1(0;0;а) ,D (a; a;0) , вектор В1D(a; a;-a) .

D1(a; a; a) ,C(0;a;0), вектор D1C(-a; 0;-a ).

Найдем скалярное произведение в координатах :

В1D×D1C=a×(-a)+a×0+(-a)×(-a)=-a²+0+a²=0. Т.к. скалярное произведение равно нулю, то вектора перпендикулярны, а значит и прямые , на которых лежат эти вектора, перпендикулярны.