Даны координаты вершины треугольника АВС: А (4;6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнения прямой, содержащей медиану СМ. Определите длину медианы СМ.

Так как ABCD параллелограмм, то его противолежащие стороны равны и параллельны, противолежащие углы равны.

1) BC║AD, AC секущая, ⇒  <BCA = <CAD = 35° как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей. ⇒ <BAD = <BAC +<CAD = 40° + 35° = 75°.

2)  BC║AD, AB секущая, ⇒<BAD  и <ABC - это внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей, и их сумма = 180°.

<ABC = 180° - <BAD = 180° - 75° = 105°.

ответ: В параллелограмме ABCD <ABC = <ADC = 105°; <BAD = <BCD = 75°

Рассмотрим четырехугольник АКМР. Это параллелограмм, т.к. его противоположные стороны попарно параллельны по условию (KM II AP, AK II PM).
<KMA=<PAM как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых АР и КМ секущей АМ. Но 
<PAM=<KAM по условию (АМ - биссектриса), значит
<KMA=<KAM, и треугольник АКМ - равнобедренный (углы при его основании АМ равны между собой). Значит
АК=КМ, а поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны, то
АК=КМ=РМ=АР, и АКМР - ромб. 
Зная свойство диагоналей ромба (диагонали ромба взаимно перпендикулярны), делаем вывод, что КР перпендикулярна АМ.