В прямоугольной трапеции MNKP с основаниями MP и NK угол M=45°, MP=25см ,NK=14см , найти площадь трапеции MNKP

Для каждой вершины надо определить векторы сторон и их модули.

Угол А: векторы АВ и АС.

АВ = (1-(-1); -√3-√3)) = (2; -2√3), модуль равен √(4 + 12) = 4.

АС = (0,5-(-1); √3-√3) = (1,5; 0), модуль равен 1,5.

cos A = (2*1.5+( -2√3)*0)/(4*1.5) = 3/6 = 1/2.

Угол А = arccos(1/2) = 60 градусов.

Аналогично определяются другие углы.

Координаты векторов сторон      

АВ                         BC (a)                AС (b)  

x y                       x y                     x      y

2   -3,4641       -0,5    3,4641         1,5     0

Длины сторон  АВ (с) = √(4+ 12) = √16 = 4

                          BC (а) =  √(0,25+ 12) = √12,25 = 3,5

                          AC (b) = √(2,2+ 0) = √2,25 = 1,5.

Углы по векторам      

cos A = (3+ 0)/ 6 = 0,5.

А = 1,0472     60 градусов

cos B = (1 +12)/ 14 = 0,9286.

В =  0,3803       21,7868 градуса

cos C = (-0,75 + 0)/  5,25 =  -0,14286  

С = 1,71414    98,2132 градуса.

Можно проверить по теореме косинусов:

cos B = (a^2+c^2-b^2)/(2ac) =   26/ 28 = 0,928571429  

B = arccos 0,9286 = 0,38025 радиан 21,7868 градуса/

cos C = (a^2+b^2-c^2)/(2ab)=   -1,5/ 10,5 = -0,142857143  

C = arccos -0,14286 = 1,714144 радиан 98,2132 градуса

Обозначим через ВК высоту, опущенную на сторону АС.
ВК=BD*sin(BDA)
С другой стороны, AD = AC / 2 = BD / cos(BDA) => AC = 2 * BD / cos(BDA)
Площадь S треугольника АВС:
S = ВК*АС / 2 = ВК*АD = BD*sin(BDA) * BD / cos(BDA) = BD^2 * tg(BDA)
tg(BDA) = S / BD^2; 1 / cos(BDA) = корень (1 + tg^2(BDA)) = корень (1 + S^2 / BD^4)
Таким образом,
AC = 2 * BD / cos(BDA) = 2 * BD * корень (1 + S^2 / BD^4)
АС = 2 * 3 * корень (1 + 12^2 / 3^4) = 6 * корень (1 + 144 / 81) = 6 * корень (225 / 81) = 6 * 15 / 9 = 10.