На рисунке угол АВС= 120°, НВ перпендикулярна ВС, ВН =4 см. Вычислите расстояние от точки Н до стороны АВ угла АВС​

По условию составим систему уравнений и решим ее.

b + a = 15

b - a = 9

сложим уравнения: 2b = 24; b = 12; ⇒ a = 3. Основания трапеции 12 и 3.

В трапецию вписана окружность, значит суммы противоположных сторон равны. a + b = m + n = 15.

Трапеция равнобедренная. ⇒ m = n = 15/2 = 7,5

Диаметр вписанной окружности равен высоте трапеции D = h.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза = m = 7,5; меньший катет = (b-a)/2 = 4,5; больший катет равен высоте трапеции и диаметру вписанной окружности.

По т. Пифагора: D = h = √(7,5² - 4,5²) = 6

Диаметр вписанной окружности = 6.

1) В прямоугольном треугольнике АВС <C=90°, <B=60° и <A=30° (90°-60°). Найти надо катет АС (против <60°). Тогда гипотенуза АВ=2*СВ (катет СВ лежит против угла 30°).  По Пифагору АС=√(4СВ²-СВ²)=СВ√3. Площадь тр-ка АВС = (1/2)* АС*СВ = СВ²√3/2 = 50√3/3. Отсюда СВ²=50*2/3, а СВ = √(100/3)=10/√3. Но АС=СВ√3 (смотри выше). Мтак, искомый катет АС = (10/√3)*√3 = 10.
2) Касательные к окружности с центром 0 в точках A и B пересекаются под углом 72 градуса. найдите угол ABO. То есть касательные пересекаются под углом 72° (предположим, в точке С). Точки касания - А и В. Центр О. Значит в четырехугольнике ОАСВ угол АОВ=108°. Треугольник ОАВ равнобедренный, так как АО и ВО - радиусы. Тогда исклмый угол АВО = (180°-108°):2 = 36°