Итоговая контрольная работа по геометрии 7 класс

Вариант 1

1. Если угол АОС = 45 °, угол ВОС = 135°, то эти углы :

а) смежные; б) вертикальные; в) определить невозможно

2. Один из смежных углов на 400 больше другого. Найдите эти углы.

3. Сумма двух углов, полученных при пересечении двух прямых, равна 60°. Найдите один из двух других углов.

4. Периметр равнобедренного треугольника равен 19 см. Одна из его сторон равна 6 см. Найдете длины двух других сторон.

5. Определите вид треугольника, если сумма двух его углов равна третьему углу?

а) остроугольный в) прямоугольный

б) тупоугольный г) определить невозможно

6. Углы треугольника относятся как 1:5:1. Определите вид данного треугольника.

По углам: по сторонам:

остроугольный 1. разносторонний

прямоугольный 2. равносторонний

тупоугольный 3.равнобедренный

7. Дано: Ð1= 90°, Ð2=90°. Определите взаимное расположение прямых m и n.

а) пересекаются;

б) параллельны;

в)такая ситуация невозможна;

8. Треугольник PMN прямоугольный, ÐM= 90°, MD высота. Найдите PD, если угол MNP равен 30°, гипотенуза PN равна12 см.

9. Периметр равностороннего треугольника 30 см. На его стороне, как на основании, построен равнобедренный треугольник, периметр которого 45 см. Найдите боковую сторону этого треугольника.

Радиус шара равен 2. (4/3)*pi*r^3 = 32*pi/3; r^3 = 8; r = 2;

Проведем сечение пирамиды вместе с шаром через высоту пирамиды и середины противоположных сторон основания. Получился равнобедренный треугольник, у которого высота h = 6, а радиус вписанной окружности r = 2; нужно найти сторону, перпендикулярную h (основание, а боковыми сторонами будут апофемы пирамиды:)) 

проведем из центра вписанной окружности перпендикуляр на боковую сторону. получился прямоугольный треугольник со сторонами h - r = 4 (гипотенуза) и r = 2 (катет). Ясно, что в таком треугольнике углы 30 и 60 градусов.

Поэтому треугольник в сечении - равносторонний, и его сторона равна

h/sin(60) = 12/корень(3).

Объем пирамиды

Vp = (1/3)*6*(12/корень(3))^2 = 96; 

Пусть основание АВ, вершина, из которой проведены медиана и высота - С, середину АВ обозначим М, основание высоты К (СК - высота к АВ). Опишем вокруг АВС окружность и продлим СМ и СК до пересечения с ней. Пусть это точки, соответственно Е для СМ и Р для СК.

Мы знаем, что дуги АЕ и ВР равны.

Поэтому ЕР II AB

=> ЕР перпендикулярно СР,

=> EC - диаметр,

и => М - центр окружности. В самом деле, АМ = МВ, но АВ не перпендикулярно ЕС, а это возможно, только если М - цетр окружности (можно указать на равенство СК и КР, поэтому СМ = МС, и опять - М - центр)

Итак ,мы имеем ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ треугольник АВС, угол АСВ = 90 градусов.

Из равенства дуг СВ и ВР (мы уже ДОКАЗАЛИ, что АВ - диаметр, пепендикулярный СР) следует, что угол СЕР в 2 раза больше ВСК,

то есть если считать угол  ВСК = 5*х, то

угол ЕСР = 8*х, угол СЕР = 10*х. 

Но угол ЕСР + угол СЕР = 90 градусов, откуда х = 5 градусов, угол САВ = угол КСВ = 5*х = 25 градусов, угол КВС = 90 - 25 = 65 градусов.

ответ углы треугольника 25, 65 и 90 градусов.