Punkt S jest środkiem odcinka AB. Znajdź współrzędne k a B odcinka AB.
a) A = (-2, 4) S = (1, -2)
b) A = (30) S = (4.-6)
c) A=(-2,-4) S = (-3,-2)
d) A = (3,-5) S = (0, -1)​

1)

Δ АСВ – прямоугольный.

По теореме Пифагора

АВ2=AC2+BC2=225+400=625

AB=25

Проводим высоту СН прямоугольного Δ АСВ

СH– проекция MH

CН⊥АВ, по теореме о трех перпендикуярах MH ⊥АВ

Расстояние от вершины M до АВ и есть МН,

Из формула площади прямоугольного треугольника АСВ

S=1/2·АС·ВС

и

S=(1/2)·АВ·СН

СН=АС·ВС/АВ=20·15/25=12

Из прямоугольного треугольника МСН прямоугольный

МН=СН/сos 60 °=12/0,5=24

О т в е т. Расстояние от вершины пирамиды до прямой АВ равно 24 см.

2)

Из прямоугольного треугольника МСН прямоугольный

МC2=MH2–CH2=242–122=432

MC=12√3

S=S Δ MBC+S Δ MAB+S Δ MAD+S Δ MDC+S(ABCD)

S Δ MBC=(1/2)BC·CD=(1/2)·20·12√3=

S Δ MAB=(1/2)AB·CH=(1/2)·25·12=150

CK⊥АD

CK=AB·CH/AD=25·12/20=15

S Δ MAD= (1/2)AD·CK=(1/2)20·15=150

S Δ MDC=(1/2)CD·MC=(1/2)·25·12√3=

S(ABCD)=2S Δ ABC=2·(1/2)BC·AC=20·15=300

Отметим, что наименьший угол прямоугольной трапеции, это единственный острый угол. (на нашем рисунке это <D).
SinD=EP/HD => EP=DH*SinD.
SinD=GP/HC => GP=HC*SinD.
PH=√(GP*PE), как высота из прямого угла (<GHE=90°, так как опирается на диаметр GE). Тогда PH=SinD√(HD*CH).
Но √(HD*CH)=OH - высота из прямого угла в прямоугольном треугольнике СOD c <COD=90° (свойство трапеции: "В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°"). А так как ОН=АВ/2=R, то РН=(АВ/2)*SinD.
Площадь четырехугольника EFGH равна сумме площадей треугольников EFG и EHG.
Sefg=(1/2)*EG*OF = (1/2)*AB*(1/2)AB=AB²/4.
Sehg=(1/2)*EG*PH = (1/2)*AB*(AB/2)*SinD=AB²*SinD/4.
Тогда площадь четырехугольника EFGH равна (AB²/4)*(1+SinD).
Площадь трапеции равна (1/2)*(BC+AD)*AB. Но поскольку в трапецию вписана окружность, то ВС+АD=АВ+СD (свойство: "В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон").
В треугольнике CDK: CK=CD*SinD, но СК=АВ, значит CD=AB/SinD.
Тогда Sabcd=(1/2)*(AB+AB/SinD)*AB =AB²*(1+1/sinD)/2.
По условию Sabcd=4*Sefgh. или (АВ²*(1+1/sinD)/2=4*(AB²/4)*(1+SinD).
Отсюда 1/SinD==2 и SinD=1/2.
ответ: острый угол D трапеции равен 30°.