1) Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите диаметр окружности, если АВ = 9, АС = 12.
2).В треугольнике АВС угол С = 90 градусов, радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь треугольника АВС , если АВ = 10.

Параллельные прямые АА₁ и ВВ₁ задают плоскость, которая пересекает плоскость альфа по прямой А₁В₁.
Пусть С - середина АВ.
Прямая, проходящая через точку С, принадлежащую плоскости (АА₁В₁), и параллельная прямой АА₁, пересечет плоскость альфа в точке С₁, лежащей на прямой А₁В₁ (на линии пересечения плоскостей).
Параллельные прямые отсекают на двух прямых пропорциональные отрезки, поэтому если С - середина АВ, то и С₁ должна быть серединой А₁В₁.

Плоский четырехугольник АА₁В₁В - трапеция, СС₁ - ее средняя линия.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

СС₁ = (АА₁ + ВВ₁)/2
8 = (5 + ВВ₁)/2
ВВ₁ = 16 - 5 = 11 см

допустим, Дано: АВСD - ромб. BD - диагональ, BD=BC. 

               Найти: угол ABD и угол ACD(выбрали углы, образующиеся пересечиние диагонали со сторонами ромба).

              Решение: Т.К. BD=BC(по условию), BD=CD (стороны ромба); то треугольник BDC - равносторонний, следовательно, угол DВC= углу BCD=CDB=60 градусов, угол DBC= углу ABD=60 градусов.

Т.к. по свойству ромба СА-биссектриса угла С, то угол ACD=1/2 угла С= 1/2 * 60 градусов=30 градусов.

ответ: угол ABC=60 градусов, угол ACD= 30 градусов.