Два перпендикулярных отрезка KM и LN пересекаются в общей серединной точке P.
Какой величины∡ N и ∡ K, если ∡ L = 75° и ∡ M = 15°?

1. Отрезки делятся пополам, значит, KP =
,
= LP,
∡
= ∡ MPL, так как прямые перпендикулярны и оба угла равны
°.
По первому признаку равенства треугольник KPN равен треугольнику MPL.

2. В равных треугольниках соответствующие углы равны.
В этих треугольниках соответствующие ∡
и ∡ M, ∡
и∡ L.
∡ K =
°;
∡ N =
°.

О -  точка пересечения биссектрис треугольника АВС.  

∠AOB = ∠COB. Найти наименьший угол треугольника ABC, если ∠ABC в три раза меньше  ∠AOC

ответ: 36°

Объяснение:  

ВО- биссектриса угла В, ∠AOB =∠COB (дано)⇒

∆ АОВ=∆ СОВ по двум углам при общей стороне ВО ( 2-й признак). ⇒

∠ВОА=∠ВОС.

 Т.к. АО и СО - биссектрисы, то и ∠ВАС=∠ВСА. как состоящие из равных половинок. ⇒ ∆ АВС равнобедренный.

Примем ∠ОАС и ∠ОСА равными α. Тогда ∠АОС=180°-2α.

∠АВС=180°-4 α.

Составим уравнение согласно  условию:

∠ АОС=3∠ АВС⇒

180°-2α=3(180°-4α). Произведя необходимые вычисления, получим 10α=360°⇒ α=36°

Угол АВС=180°-4•36°=36°.

Углы А и С вдвое больше α, они равны по 72°.

Следовательно, наименьший угол  ∆ АВС - угол АВС=36°

Вероятно, подразумевается, что а лежит вне окружности. если так, то проведем радиусы от центра окружности о до точек касания в и с. и соедини центр окружности с точкой а. рассмотрим получившиеся треугольники аво и асо, в них: угол аво = угол асо = 90 гр. (св-во касательных) , следовательно, треугольники аво и асо прямоугольные. а чтобы доказать равенство двух прямоуг. треуг-ов достаточно найти 2 равных элемента: - катет ов = катет ос (радиусы окружности) - оа - общ. гипотенуза из этого следует, что треугольники равны, следовательно все элементы этих треуг-ов равны. а следовательно равны и катеты ас и ав ч. т. д.