Нужно доказать равенство
Задача 7 класса​

Для доказательства данного равенства:

\(\frac{4}{a+b} + \frac{9}{a-b} = \frac{13}{a^2 - b^2}\)

можно воспользоваться методом приведения дробей к общему знаменателю и последующим сокращением. Давайте разберемся, как это сделать.

Шаг 1: Найдем общий знаменатель для дробей \(\frac{4}{a+b}\) и \(\frac{9}{a-b}\). Общим знаменателем будет произведение знаменателей данных дробей. Таким образом, общий знаменатель равен \((a+b)(a-b)\).

Шаг 2: Приведем к общему знаменателю обе дроби:

\(\frac{4}{a+b} = \frac{4(a-b)}{(a+b)(a-b)}\)

\(\frac{9}{a-b} = \frac{9(a+b)}{(a+b)(a-b)}\)

Шаг 3: Теперь сложим полученные дроби:

\(\frac{4(a-b)}{(a+b)(a-b)} + \frac{9(a+b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{4(a-b)+9(a+b)}{(a+b)(a-b)}\)

Шаг 4: Упростим числитель дроби:

\(4(a-b) + 9(a+b) = 4a-4b+9a+9b = 13a+5b\)

Шаг 5: Подставим полученный числитель в общую дробь:

\(\frac{13a+5b}{(a+b)(a-b)} = \frac{13a+5b}{a^2-b^2}\)

Шаг 6: Сравниваем полученную дробь с исходным равенством:

\(\frac{13a+5b}{a^2-b^2}\)

Мы видим, что дроби совпадают, следовательно, исходное равенство верно:

\(\frac{4}{a+b} + \frac{9}{a-b} = \frac{13}{a^2 - b^2}\).

Таким образом, равенство доказано.