Пирамида правильная, следовательно, вершина S проецируется в центр О основания (квадрата АВСD), а все углы, образованные боковыми гранями с плоскостью основания, равны. Это двугранные углы, измеряемые линейным углом, получаемым при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям). В нашем случае это угол SHO, образованный пересечением плоскостей основания и боковой грани плоскостью SOH, перпендикулярной основанию и боковому ребру (то есть перпендикулярной ребру АВ).
Тогда из прямоугольного треугольника SOH имеем:
SO = SH*Sinα = L*Sinα (высота пирамиды), а НО = L*Соsα.
Заметим, что НО - это половина стороны основания. Сторона равна 2*L*Соsα.
Тогда площадь основания So = 4*L²*Соs²α.
Объем пирамиды равен (1/3)*So*SO = (1/3)*4*L²*Соs²α*L*Sinα.
V = (4/3)*L³*Соs²α*Sinα = (2/3)*L³*Соsα*Sin2α (так как
2Sinα*Cosα = Sin2α).
ответ: V = (2/3)*L³*Соsα*Sin2α.
Главное, что нужно найти - это угол, стягиваемый хордой. То есть угол СОD.
Ясно, что
угол АОС + угол СOD + угол DOB = 180 градусов (полуокружность).
Поэтому
угол СOD = 180 - (23 + 37) = 120 градусов.
Построим РАВНОБЕДРЕННЫЙ треугольник COD и проведем в нем ОМ через середину CD. ОМ перпендикулярно CD, и ОМ делит угол COD пополам.
То есть треугольник СОМ прямоугольный, и угол СОМ = 60 градусов.
Поэтому ОМ = ОС/2 = R/2; (R - радиус окружности).
(если вам не понятно, откуда это взялось, то возьмите 2 треугольника СОМ и MOD и приставьте друг к другу не катетом ОМ, а катетами СМ = МD. Получится равносторонний треугольник, потому что все его углы будут 60 градусов. Значит ОМ = ОС/2)
Осталось вычислить СМ по теореме Пифагора, и умножить на 2, получим длину CD
СD = 2*корень(R^2 - (R/2)^2) = R*корень(3) = 15*корень(3).
