В треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена. Какие следствия из условия можно получить? Справедливо ли утверждение, что все вершины треугольника лежат на окружности? Чему равна величина угла, из вершины которого проведена биссектриса?

Можно так.
1) Середина диагонали АС прямоугольника является точкой пересечения диагоналей, а также центром симметриии прямоугольника. Значит точка О делит отрезок РК пополам, тогда в ΔСОР =ΔАОК  по двум сторонам и углу между ними (ОР=ОК, АО=ОС и углы РОС и АОК равны как вертикальные). Отсюда РС=АК, а также РСIIАК, Значит АРСК параллелогамм.
2) S(АРСК)=РС*CD, CD=√(AC²-AD²)=√(169-144)=5, PC=AK=4, S(АРСК)=4*5=20.
3) Проведем РМ II CD, РМ=5, КМ=8-4=4, РК=√(РМ²+КМ²)=√(25+16)=√41, 
4) По теореме косинусов АК²=АО²+ОК²-2АО*ОК*cos(AOK).
АК=4, АО=6,5, ОК=√41/2. 

1)Треугольники АОК и РОС равны по трем углам:
∠АКР=∠КРС,∠РСА=∠САК как накрестлежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущих, углы при О равны, как вертикальные.
Следовательно, равны и треугольники АОВ и КОС по двум сторонам и углу между ними: АО=ОС, КО=ОР, углы при О - вертикальные. ⇒
РС=АК, АР=КС.
Четырехугольник, в котором противоположные стороны попарно  равны - параллелограмм.
-----
 2) Площадь АРСК можно вычислить произведением высоты на основание. Высота этого параллелограмма, проведенная из вершины С  к АК = СД.
S =ah=AK*CD
CD -  катет прямоугольного треугольника с отношением сторон АС:АD:DC=13:12:х. Треугольник из Пифагоровых троек, и СD=5 ( проверить можно по т.Пифагора)
S=4*5=20 (ед.площади) 
-----
3) РК найдем из прямоугольного треугольника КРН, где РН⊥КD;  РН=СD=5
По т.Пифагора
КР= √(КН² +РН² )=√41 
----
4) Одна из формул для нахождения площади параллелограмма S=0,5*d1*d2*sin(α)
20=0,5*AC*KP*sin α
sin α=40:(13*√41)=40: (13*6,403) ≈ 0,4805
По таблице синусов это синус угла 28°43'