MT перпендикулярно CD, CM=MD Доведіть, що

Нужно рассечь пирамиду вертикальной плоскостью, проходящей через середины противоположных сторон оснований. В сечении получится равнобедренная трапеция, верхнее основание равно 6 см, нижнее - 8 см. Из обоих вершин верхнего основания трапеции опускаешь перпендикуляры (высоты) на нижнее основание. Трапеция разбивается на прямоугольник и два прямоугольных треугольника с горизонтальными катетами по 1 см. Острые углы треугольников по 45 градусов. Значит треугольники равнобедренные, вертикальный катет тоже равен 1 см, а гипотенуза равна sqrt(2) см. Гипотенуза этого треугольника является апофемой (высотой) боковой грани пирамиды. Боковые грани пирамиды - трапеции, с основаниями 6 и 8 см и высотой sqrt(2) см. Площадь одной грани равна (6+8)*sqrt(2)/2= 
=7*sqrt(2) см^2, а площадь боковой поверхности в 4 раза больше.

Дан куб с ребром равный 1. Найти угол между прямыми DA1 и BD1

ВD1 - диагональ куба. DА1 - диагональ его грани. 

Проведем через середину диагонали куба  прямую, параллельную DА1 и пересекающую ребра А1В1 и DС. Оба отрезка пересекутся в центре куба О и делятся им пополам. 

Стороны четырехугольника МD1М1В равны, т.к. являются гипотенузами треугольников с равными катетами, следовательно, этот четырехугольник - ромб, и его диагонали М1М и ВD1 пересекаются под углом 90º

Найти угол между МО и ВО можно и из ∆ ВОМ по т.косинусов. 

ВМ²=МО²+ВО² - 2МО•BO•cos∠BOM

cos∠BOM=(ВМ²-МО²+ВО²):(- 2МО•BO) 

МО=половине диагонали грани, 

ВО - половине диагонали куба. 

Вычислить длины сторон ∆МОВ не составит труда. Результат решения уравнения - косинус угла ВОМ=0, и это косинус 90º