Объясняю методику решения на примере нахождения угла К:
Угол ВАN=углу NAC=30⁰
Угол ВСМ=углу МСА=35⁰
Угол АОС=180-(30+35)=115⁰
Дальше рассматриваем четырёхугольник, выделенный красным:
В нём два угла прямые, поскольку, для ΔMNK окружность является описанной, центр которой лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ΔMNK, то есть биссектрисы ΔАВС являются серединными перпендикулярами ΔMNK
Отсюда:
Угол К=360-(115+90+90)=65⁰
Подобным же образом находим:
Угол М=360-(125+90+90)=55⁰
Угол N=360-(120+90+90)=50⁰
Не самое короткое решение получилось...
третий угол в треугольнике равен 180-(50+70)=60градусов. Соединим точки касания отрезками. Так как окружность вписанная, то стороны углов треугольника являются отрезками касательных, по свойству отрезков касательных они равны , поэтому треугольники равнобедренные.
рассмотрим треугольник с углом 70 градусов, тогда остальные два угла равны (180-70):2=55градусов
рассмотрим треугольник с углом 50градусов. остальные углы в нём (180-50):2=65градусов
рассмотрим треугольник с углом 60градусов. Углы в нём равны (180-60):2=60градусов.
углы в образовавшемся внутреннем треугольнике равны
180-(55+65)=60градусов
180-(55+60)=65градусов
180-(65+60)=55градусов
