площадь трапеции
площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:
s = ((ad + bc) / 2) · bh,
где высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.
доказательство.

рассмотрим трапецию abcd с основаниями ad и bc, высотой bh и площадью s.
докажем, что s = ((ad + bc) / 2) · bh.
диагональ bd разделяет трапецию на два треугольника abd и bcd, поэтому s = sabd + sbcd. примем отрезки ad и bh за основание и высоту треугольника abd, а отрезки bcи dh1 за основание и высоту треугольника bcd. тогда
sabc = ad · bh / 2, sbcd = bc · dh1.
так как dh1 = bh, то sbcd = bc · bh / 2.
таким образом,
s = ad · bh / 2 + bc · bh = ((ad + bc) / 2) · bh.это можно только с доказательством
1. Из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора:
BD = √(AB² - AD²) = √(20² - 12²) = √(400 - 144) = √256 = 16 см
Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу:
AD² = BD · DC
DC = AD² / BD = 144 / 16 = 9 см
ВС = BD + DC = 16 + 9 = 25 см
Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора:
AC = √(BC² - AB²) = √(625 - 400) = √225 = 15 см
cos∠C = AC / BC = 15 / 25 = 3/5 = 0,6
2. ΔABD: ∠ADB = 90°,
cos∠A = AD / AB
AD = AB · cos 41° ≈ 12 · 0,7547 ≈ 9,1 см
ΔADH: ∠AHD = 90°,
sin∠A = DH / AD
DH = AD · sin41° ≈ 9,1 · 0,6561 ≈ 6 см
Sabcd = AB · DH ≈ 12 · 6 ≈ 72 см²
