Даны вершины пирамиды А (3; -1; 1), B (5; 2; -1), C (2; -2; 1), D (2; 7; 1).
а) угол между ребрами АВ и АС;
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} =(2; 3; -2). Модуль = √17 ≈ 4,123.
Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} = (-1; -1; 0). Модуль = √2 ≈ 1,414.
Их скалярное произведение равно -2 - 3 + 0 = -5.
cos a = |-5|/(√17*√2) = 5/√34 ≈ 0,8575.
Угол равен arc cos(5/√34) = 0,5404 радиан или 30,964 градуса.
б) площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения АВ на АС:
а1 а2 а3
a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}
Подставим координаты векторов, полученные выше:
a1 a2 a3 S =
-2 2 1 1,5 .
в) объем тетраэдра АВСD;
Надо ещё определить координаты вектора АД.
Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} = (-1; 8; 0). Модуль = √65 ≈ 8,0622.
Объем тетраэдра АВСD равен (1/6) смешанного произведения векторов (АВхАС) х (АД).
V = (1/6)*((-2)*(-1) + 2*8 + 1*0) = (1/6)*18 = 3 куб.ед.
г) уравнение плоскости АВС определяем по координатам точек.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 3 y - (-1) z - 1
5 - 3 2 - (-1) (-1) - 1
2 - 3 (-2) - (-1) 1 - 1 = 0
(x - 3) (y - (-1)) ( z - 1 )
2 3 -2
-1 -1 0 = 0
(x - 3)*3·0-(-2)·(-1) - (y - (-1))*2·0-(-2)·(-1) + (z - 1)*2·(-1)-3·(-1) = 0
(-2)(x - 3) + 2(y - (-1)) + 1(z - 1) = 0
-2x + 2y + z + 7 = 0
д) угол между ребром АD и гранью АВС;
sin b = (-2*-1+2*8+1*0)/(3*√65) = 18/(3√65) = 6/√65.
Угол равен 0,8393 радиан или 48,091 градуса.
е) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C).
Уравнение плоскости АВС: -2x + 2y + z + 7 = 0 .
Точка D = (2; 7; 1).
Уравнение высоты (x - 2)/-2 = (y - 7)/2 = (z - 1)/1.
Пусть ∠BAC = α (∠BAD = 2α). Проведём через С прямую, параллельную АВ. Пусть она пересекает AD в точке Х. Тогда ABCX - параллелограмм. Значит противоположные стороны равны: BC = AX. AD в 2 раза больше BC, которое равно AX, значит X - середина AD. ∠ACX = ∠CAB = α = ∠CAX, значит AX = CX = AB. При этом AB = CD, т. к. трапеция равнобокая, значит XD=DC=CX, т. е. ΔXDC - равносторонний. Значит ∠ADC = 60°, ∠DAB = ∠ADC, т. к. трапеция равнобокая, т. е. ∠DAB = 60°, ∠ABC = ∠BCD = 180°-60° = 120° по свойству трапеции
ответ: ∠ABC=∠BCD=120°, ∠CDA=∠DAB=60°
