В треугольнике РАВ угол РАЕ= 900 , АЕ - высота. Окружность диаметра ЕА пересекает стороны треугольника РА и АВ в точках М и С соответственно. Найдите МС , если ЕА = 19см.(сможет решить только БОГ)

Формула медианы треугольника 
m=0,5*√(2а²+2b²-c²), где а и b- боковые стороны, с- сторона, к которой медиана проведена. 
Произведя вычисления,  получим длину медианы 5 см. 
Но, обратив внимание на отношение сторон 6:8:10=3:4:5, увидим, что данный треугольник - египетский, следовательно, прямоугольный с прямым углом В,  АС в нем - гипотенуза.
 Медиана прямоугольного треугольника из прямого угла равна половине гипотенузы. 
m=10:2=5 см
Проверка:
АВ+ВМ+МА=6+5+5=16 см ( периметр треугольника АВМ)
---------
Ещё один
ВМ - медиана и делит сторону АС пополам.
СМ=АМ=10:2=5 ( см)
Р Δ АВМ=16 см
Р Δ АВМ=ВМ+АМ+АВ
16= ВМ+5+6
ВМ=16-11=5 ( см)

Сделаем рисунок.
Пусть центр большей окружности будет М, меньшей - Н
Заметим сразу, что точка В, взятая на большей окружности, не является точкой касания прямой ВС и этой окружности, т.е. угол МВС - не прямой. .
ВС можем найти из прямоугольного треугольника ВСН, где  СН=R=7. 
ВН можно найти по т. косинусов из треугольника ВМН, в котором известны две стороны, а косинус угла ВМН можно найти. 
Рассмотрим треугольник АМВ. 
По т.косинусов АВ²=ВМ²+АМ² -2*ВМ*АМ*cos АМВ
144=81+81-2*81*cos АМВ
-18=- 162*cos АМВ
cos АМВ=1/9
В треугольнике ВМН 
ВН²=ВМ²+МН²-2*ВМ*ВН*cos НМВ
cos НМВ=cos АМВ=1/9
МН=9+7=16
ВН²=9²+16²-2*9*16*1/9
ВН²=305
Из треугольника ВСН
ВС²=ВН²-СН²
ВС=√(305-49)
BC=√256=16