Пусть в тр-ке АВС найдена такая точка М. Тогда есть две окружности. Одна с центром в точке О1, касается стороны АВ в точке E, отрезка АМ в точке Р и стороны ВС в точке Р1. Очевидно, что АР = АE, BE = BР1, MP1 = MP; Вторая окружность с центром О2 касается стороны АС в точке Т, отрезка АМ в точке Р и стороны ВС в точке Р2. АР = АТ, СТ = СР2, МР2 = МР.
Всё, что надо сообразить :) - что АЕ = АТ (оба эти отрезка равны АР).
Отметим на стороне АВ точку Е1 так, что ВЕ1 = ВЕ + МР, АЕ1 = АЕ - МР. Аналогично отметим точку Т1 на АС так, что СТ1 = СТ + МР, АТ1 = АТ - МР.
Рассмотрим три точки М, Е1, Т1. Они обладают следующими свойствами:
АЕ1 = АТ1, ВЕ1 = ВМ, СМ = СТ1.
Нетрудно понять, что это - точки касания вписанной в АВС окружности.
Доказать это проще простого - рассмотрим систему
x + y = a;
x + z = b;
z + y = c;
решение (выписывать его нет нужды) такой системы единственно. Это - всё доказательство (ну, если кто не понял, точки касания вписанной окружности делят стороны именно так, а раз это можно сделать единственным то ...). :)
Поэтому точка М - это точка касания стороны ВС вписанной окружностью.
Стереотипное решение
Опускаем высоту из В на АС, пусть основание М. Поскольку АВ=ВС, М - середина АС.
В треугольнике АВМ угол М прямой, а cosA = AM/AB = 3/5; АВ = 5, поэтому АМ = 3;
АС = 2*АМ = 6.
Как надо решать, если хочется научиться :)))
Высота к основанию делит треугольник на 2 прямоугольных тр-ка, симетричных относительно высоты.
А - угол при основании, раз cosA = 3/5, значит эти треугольники "египетские" (то есть подобные тр-ку со сторонами 3,4,5). Поэтому половина основания 3, а все - 6.
