1. Пирамида правильная, значит в основании правильный треугольник, боковые ребра равны и составляют с плоскостью основания одинаковые углы. Высота пирамиды проецируется в центр основания.
ΔSOA: ∠SOA = 90°, SO = SA · sin60° = 6 · √3/2 = 3√3 см
OA = SA · cos60° = 6 · 1/2 = 3 см
ОА - радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
ОА = АВ√3/3
АВ = ОА√3 = 3√3 см
Sabc = AB²√3/4 = 27√3/4 см²
V = 1/3 · Sabc · SO = 1/3 · 27√3/4 · 3√3 = 81/4 см³
2. Так как пирамида вписана в конус, то основание пирамиды - прямоугольный треугольник - вписано в основание конуса. Центр основания конуса будет находиться на середине гипотенузы. Высота пирамиды совпадает с высотой конуса - SO.
Пусть ВС = 2а, ∠АВС = 30°.
Проведем ОК⊥ВС. ОК - проекция SK на плоскость основания, значит и SK⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах. Тогда ∠SKO = 45° - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани SBC к основанию.
Так как и АС⊥ВС, то ОК║АС. ОК - средняя линия ΔАВС по признаку (проходит через середину стороны АВ и параллельна третьей стороне).
ΔАВС: AB = BC / cos30° = 2a / (√3/2) = 4a√3/3
R = AB/2 = 2a√3/3 - радиус основания конуса,
Sосн = πR² = 4a²π/3
АС = ВС · tg30° = 2a/√3 = 2a√3/3
ОК = АС/2 = а√3/3 как средняя линия,
ΔSKO прямоугольный, равнобедренный, ⇒
SO = OK = a√3/3.
Vконуса = 1/3 · Sосн · SO
Vконуса = 1/3 · 4a²π/3 · a√3/3 = 4a³√3/27
ответ: 20 см
Решение: смотри рисунок.
Пусть треугольник BAC равнобедренный, AB=AC=10 см.
Возьмем произвольную точку K на основании BC и проведем KM||AC иKN||AB
KM=AN, KN=AM -противоположные стороны параллелограмма.
Докажем, что KM=BM. Угол 2=углу 4 как соответственные углы при AC||KM и секущей KC. Но угол 4=углу 1 (углы при основании равнобедренного треугольника). Отсюда угол 2=углу 1. Значит треугольник BMK равнобедренный и KM=BM как его боковые стороны.
Аналогично докажем, что KN=NC. Угол 3=углу 1 как соответственные углы при AB||KN и секущей KB. Но угол 1=углу 4 (углы при основании равнобедренного треугольника). Отсюда угол3 =углу 4. Значит треугольник KNC равнобедренный и KN=NC как его боковые стороны.
Периметр параллелограмма =KM+MA+AN+NK=BM+MA+AN+NC=BA+AC=10+10=20 (см)
