Берілген екі қабырғасы және олардың
арасындағы бұрышы бойынша
үшбұрыш салалар: АВ-3 см., AC-5
см, 2 ВАС = 50​

Геометрический
S(AMB)=1/2MA·MB·sin(AMB)=(√3/4)MA·MB, т.к. ∠AMB=∠ACB=60°.
Отсюда  MA·MB=4S(AMB)/√3 и аналогично из площадей треугольников AMC и СМВ получим MA·MC=4S(AMC)/√3, MC·MB=4S(СMВ)/√3.
По теореме косинусов для тех же треугольников:
AB²=MA²+MB²-MA·MB=MA²+MB²-(4/√3)·S(AMB);
AС²=MA²+MС²+MA·MС=MA²+MС²-(4/√3)·S(AMС);
СB²=MС²+MB²-MС·MB=MС²+MB²-(4/√3)·S(СMB).
Сложим эти равенства:
AB²+AС²+СB²=2(MA²+MB²+MС²)-(4/√3)·(S(AMB)-S(AMС)+S(СMB)).
Но AB=AС=СB=√3, и значит AB²+AС²+СB²=3+3+3=9,
S(AMB)+S(СMB)-S(AMС)=S(ABC)=(3√3)/4.
Поэтому 9=2(MA²+MB²+MС²)-(4/√3)·(3√3)/4, т.е. 
MA²+MB²+MС²=(9+3)/2=6.

Тригонометрический
Если R - радиус, О - центр окружности и ∠AOM=2x, то  MА=2Rsin(x), MB=2Rsin(60°+x), MC=2Rsin(60°-x). Значит 
MA²+MB²+MС²=4R²(sin²(x)+sin²(60°+x)+sin²(60°-x)).
После раскрытия синусов суммы и упрощения получим 6R², что и требовалось.

Пусть дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А, тогда

высота прямоугольного треугольника ВН, проведённая к гипотенузе ВС, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, т. е. АН = корню квадратному из ВН*НС=12 (см)

тогда рассмотрим треугольник ВАН (прямоугольный, с прямым углом ВНА), и по теореме Пифагора получаем, что ВА в квадрате=ВНквадрат+НАквадрат

ВА квадрат=9 в квадрате+12 в квадрате, ВА квадрат=81+144=225=>

ВА=корень квадратный из 225, ВА=15 (см_)

тогда берём первоначальный треугольник АВС и по теореме Пифагора находим катет АС,

АС квадрат=ВС квадрат-ВА квадрат, ВС=ВН+НС=9+16=25 (см)

АС квадрат = 25 в квадрате-15 в квадрате

АС квадрат=625-225=400

АС=корень квадратный из 400=20 (см)

ответ: 20 см и 15 см