Условие
В выпуклом четырёхугольнике, не являющемся параллелограммом, две противоположные стороны равны.
Докажите, что прямая, проходящая через середины его диагоналей, образует равные углы с этими сторонами.
Решение
Пусть M и N – середины диагоналей соответственно AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором AB = CD. Если K – середина стороны BC, то KM – средняя линия треугольника ABC, а KN – средняя линия треугольника BCD. Поэтому KM || AB, KM = ½ AB, KN || CD, KN = ½ CD = ½ AB = KM.
Значит, треугольник KMN – равнобедренный. Пусть прямая MN пересекает стороны AB и CD соответственно в точках P и Q. Тогда
∠BPM = ∠KMN = ∠KNM = ∠CQN. Что и требовалось доказать.
Объяснение:
98°; 79°
Объяснение:
Возьмём ΔABC, в котором AB=BC, а AC - основание. Рассмотрим 2 случая.
1. ∠BAC < ∠ABC.
1) ∠BAC = ∠BCA по свойству углов при основании равнобедренного Δ.
2) Пусть x - ∠BAC, тогда x - ∠BCA и (x+57) - ∠ABC. По теореме о ∠+∠+∠ Δ ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°. Составим и решим уравнение:
x + x + (x+57) = 180
2x + x + 57 = 180
3x = 180 - 57
3x = 123
x = 41° - ∠BAC
∠ABC = x + 57 при x = 41.
Если x = 41, то x + 57 = 41 + 57 = 98° - ∠ABC
2. ∠ABC < ∠BAC
1) см. 1) в 1.
2) Пусть x - ∠ABC, тогда (x+57) - ∠BAC и (x+57) - ∠BCA. -//-:
x + 2(x+57) = 180
x + 2x + 114 = 180
3x = 180 - 114
3x = 66
x = 22° - ∠ABC
∠BAC = x + 57 при x = 22.
Если x = 22, то x + 57 = 22 + 57 = 79° - ∠ABC
