Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит ромб. Сечение, проходящее через ребра AD и В1С1, наклонено к плоскости основания под углом 30о. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площадь данного сечения равна 7 см2.​

1) Первый пункт задачи должен быть сформулирован так:

докажите, что все вершины четырехугольника АВСD лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВD пересекаются.

Воспользуемся теоремой: через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и при том только одну.

Даны две пересекающиеся прямые АС и ВD. Проходящую через них плоскость обозначим α.

Прямая АС лежит в плоскости α, значит А∈α и В∈α.

Прямая ВD лежит в плоскости α, значит В∈α и D∈α.

Точки А, В, С, D принадлежат плоскости α, т.е. все вершины четырехугольника АВСD принадлежат плоскости α.

Что и требовалось доказать.

2) Рисунок к задаче прикреплен. Дан четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны и известны длины этих диагоналей (смотри рисунок).

Воспользуемся формулой для вычисления площади четырехугольника по двум диагоналям и углу между ними.

, где – диагонали четырехугольника, – угол между диагоналями.

ответ: площадь АВСD равна 60 см².

1) Проекция бокового ребра на основание равно 2/3 высоты основания, а проекция апофемы - 1/3 этой высоты (по свойству медиан). Проведём сечение через ребро и ось.
Высота пирамиды H = bsinβ.
Проекция ребра равна bcosβ, а проекция апофемы (bcosβ) / 2.
По Пифагору находим апофему А = √((b²cos²β/4)+b²sin²β) =
=(b/2)√(cos²β+4sin²β).

2)  Угол при вершине  треугольника α = arc cos(m/m+n).

3) a*sin α = (b/cos α) + (b/sin α). После приведения к общему знаменателю получаем a*sin²α*cos α = b(sin α+cos α).
Если заменить sin α+cos α = b√2(cos(π/4)-α) = b√2(sin(π/40+α).
Тогда получим b = (a*sin²α*cosα) / (√2sin(π/4)+α).