Дано : ΔABC, ∠C = 90°, CN = 1 см, NB = 2 см,
вписанная окружность (O; r)
Найти : S, r, R
Так как окружность вписана в треугольник, то стороны треугольника являются касательными к окружности. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной в этой точке.
ON⊥CB, OK⊥AC, OM⊥AB
⇒ CKON - квадрат со стороной, равной радиусу вписанной окружности
⇒ r = CK = KO = JN = CN = 1 см
Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны
BM = BN = 2 см; AK = AM = x см
ΔABC :
BC = CN + BN = 1 см + 2 см = 3 см
AC = AK + KC = (x + 1) см
AB = AM + MB = (x + 2) см
Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить через полупроизведение катетов или через произведение полупериметра на радиус вписанной окружности.
AC = x + 1 = 4 см; AB = x + 2 = 5 см
см²
Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы
см
ответ : S = 6 см², r = 1 см, R = 2,5 см
В условии ошибка. Если сторона квадрата 24, то его диагональ 24√2 ≈ 34. Тогда в треугольнике ASC сторона АС больше суммы двух других сторон: 34 > 13 + 13, т.е. треугольник с такими сторонами не существует.
Встречается такая же задача с другими данными:
Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Пирамида правильная, значит в основании лежит квадрат, а боковые грани - равные равнобедренные треугольники.
Проведем SH⊥CD. Тогда CH = HD (треугольник SCD равнобедренный).
CH = HD = 1/2 CD = 5.
ΔSCH: ∠SHC = 90°, по теореме Пифагора:
SH = √(SC² - CH²) = √(169 - 25) = √144 = 12
Sпов = Sосн + Sбок
Sосн = AD² = 10² = 100
Sбок = 1/2 Pосн · SH = 1/2 · 10 · 4 · 12 = 240
Sпов = 100 + 240 = 340 ед. кв.
