Пусть дана треугольная пирамида SABC. По условию, угол ASB равен 90 градусов, то есть треугольник ASB прямоугольный. Так как пирамида правильная, AS=BS, треугольнык равнобедренный и его углы равны 45,45,90. В таком треугольнике катет SA в sqrt(2) меньше гипотенузы AB, AB=4sqrt(3), тогда SA=2sqrt(6). Пусть SO высота пирамиды, так как пирамида правильная, O - центр пирамиды. Высота AH проходит через O и является также медианой, а значит, делится точкой O в отношении 2:1, считая от вершины. Высота правильного треугольника равна a*sqrt(3)/2, где a - его сторона, в нашем случае AH=6, AO=2/3AH=4. Треугольник SAO прямоугольный, так как SO перпендикулярно (ABC) и перпендикулярно AO. В нем известны гипотенуза SA и катет AO. По теореме Пифагора найдем SO, SO=2sqrt(2)
Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов.
Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
Пусть a — длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b — длина третьей стороны, α и β — соответствующие углы, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной.
Стороны могут быть найдены следующим образом:
(теорема синусов);
(следствие теоремы косинусов);
(следствие теоремы косинусов);
Периметр равнобедренного треугольника может быть вычислен любым из следующих
(по определению);
(следствие теоремы синусов).
Площадь треугольника может быть вычислена одним из следующих
(формула Герона).
