Высоты треугольника пересекаются в точке O.

Величина угла ∡ BAC = 84°, величина угла ∡ ABC = 83°.

Определи угол ∡ AOB.

∡ AOB = °.

​

Сторона MP^2 равна по теореме пифагора:  (Mx-Px)^2+(Му-Ру)^2=
(-4-2)^2+(3-7)^2=(36+16)=52

Сторона МТ^2  равна по теореме пифагора ( Мх-Тх)^2+(Му-Ту)^2=(-4-8)^2+(3+2)^2=144+25=169

Сторона РТ^2 равна по теореме Пифагора (Рх-Тх)^2+(Ру-Ту)^2=(2-8)^2+(7+2)^2=36+81=117

Отсюда получаем что по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Находим гипотенузу это самая большая сторона соответсвенно это сторона МТ 

тогда МТ^2=РТ^2+МР^2 подставляем значения получаем
169=117+52 => 169=169 
так как сумма квадратов катетов рана  квадрату гипотенузы значит этот треугольник прямоугольный

Чертеж к решению - во вложении.

Т.к. О - центр вписанной в ΔАВС окружности, то О - точка пересечения биссектрис углов ΔАВС. Значит, АО и ВО - биссектрисы.

Т.к. О1 - центр внеписанной окружности то О1 - точка пересечения биссектрис внешних углов ΔАВС. Значит, АО1 и ВО1 - биссектрисы.

Пусть α - величина внешнего угла ΔАВС при вершине А, тогда (180°-α) - величина внутреннего угла ΔАВС при вершине А, т.к. эти углы - смежные.

Тогда

Аналогично,

Рассмотрим четырехугольник АОВО1.

У него сумма противолежащих углов А и В равна 90°+90° = 180°.

Т.к. сумма всех углов этого выпуклого четырехугольника равна 360°, то сумма двух других противолежащих при вершинах О и О1 также равна 180°.

Таким образом, воспользуемся утверждением: если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Делаем вывод, точки А, В, О и О1 лежат на одной окружности.

Доказано.